第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性本章要点一、向量组的线性相关性判定定理 二、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 三、线性方程组解的结构4.1 4.1 向量组及其线性组合向量组及其线性组合一、向量的定义 二、向量组与矩阵的关系 三、线性组合与线性表示 四、等价向量组 五、向量组的秩与矩阵的秩的关系定义1分量中有复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、向量的定义一、向量的定义 1 1、 维向量的概念维向量的概念2 2、 维向量的表示方法维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：注意 ：行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.若干个同维数的列向量（或同维数的行向量 ）所组成的集合叫做向量组例如二、向量组与矩阵的关系二、向量组与矩阵的关系向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.定义1线性组合三、线性组合与线性表示向量 能 由向量组 线性表示定义2定理1 ：定义向量组 能由向量组 线性表示向量组等价四、等价向量组从而4.2 4.2 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性相关的概念 二、线性相关的判定与齐次 方程组解之间的关系 三、小结注意定义3一、线性相关性的概念一、线性相关性的概念则称向量组 是线性相关的，否则，称它线性无关定理1 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向量 可由其余 个向量线性表示证明 充分性设 中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示.即有三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定故因 这 个数不全为0，故 线性相关.必要性 设 线性相关，则有不全为0的数 使 因 中至少有一个不为0，不妨设 则有即 能由其余向量线性表示.证毕.定理4下面举例说明定理的应用.结论:解例解例分析证定理五证明说明1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）2. 线性相关与线性无关的判定方法：两个定理（难点）四、小结四、小结4.3 4.3 向量组的秩向量组的秩一、最大线性无关组 二、矩阵与向量组秩的关系 三、向量组秩的重要结论 四、小结定义最大线性无关向量组最大无关组一、最大线性无关向量组一、最大线性无关向量组结论说明二、矩阵与向量组秩的关系二、矩阵与向量组秩的关系定理最大无关组的等价定义最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩3 求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换四、小结四、小结4.4 4.4 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构一、齐次线性方程组的解的结构 二、基础解系及其求法 三、非齐次方程组解的结构 四、小结（1）若 为 的解，则 也是 的解.证明一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质（2）若 为 的解， 为实数，则也是 的解证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间证毕.基础解系的定义二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法定理1例1 求齐次线性方程组的基础解系与通解. 解对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有线性方程组基础解系的求法证明三、非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证毕其中 为对应齐次线性方程 组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特 解.非齐次线性方程组Ax=b的通解为例4 求解方程组解( )( )nBRAR= ( )( )nBRAR= 线性方程组解的情况四、小结四、小结线性方程组基础解系的求法思考题思考题思考题解答思考题解答4.5 4.5 向量空间向量空间一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 四、小结说明2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .一、向量空间的概念一、向量空间的概念定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指例2 判别下列集合是否为向量空间.解例3 判别下列集合是否为向量空间.解试判断集合是否为向量空间.一般地， 为定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间实例二、子空间二、子空间设 是由 维向量所组成的向量空间，那末，向量组 就称为向量 的一个基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量 空间三、向量空间的基与维数三、向量空间的基与维数定义3 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空 间，因此它没有基说明（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间子空间的概念向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答