机电工程学院线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方 程组，即使系数矩阵是稀疏的，但在运算中 很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复 杂等不足. 迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简 单，编制程序容易的优点，并在许多情况下 收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。求解线性方程组的两种基本方法思 路将 等价改写为 形式，建立迭代 。从初值 出发，得到序列 。研究 内容： 如何建立迭代格式？ 收敛速度？ 向量序列的收敛条件？ 误差估计？线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性高斯-塞德尔迭代雅克比迭代A =LUD高斯-塞德尔 迭代矩阵雅克比迭 代矩阵线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性方程式右边所有元素均已知,因此的值很容易通过编程求解。或者编程求乘积之和时 必须跳过系数矩阵 的主对角线元素或者两个一维数组对应 元素的乘积之和， 程序设计较为简单或者编程求乘积之和时必 须跳过系数矩阵的主 对角线元素或者编程技巧：与 共用同 一个数组。或者若按顺序求解时，每个方程式右边所有元素均 已知,因此 的值很容易通过编程求解。线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性称作松弛因子。通过选取合适的 来加速收敛，这就是松弛法。0 1低松弛法1 2(逐次)超松弛法称为逐次 超松弛迭 代法（简 称SOR法 ）写成分量形式，有或者线性方程组的迭代解法 迭代法概述 迭代法的构造 迭代法的分量形式 松弛法 迭代法的收敛性定理2.5 一般迭代法 对任意的初始 向量 和 都收敛的充要条件是迭代矩阵 的 谱半径小于1，即 。以上判定条件的缺点: 对于大型矩阵而言,谱半径的求取比较麻烦。定义2.1 设 ,如果矩阵A的元素满足条件即矩阵A的每一行对角元素的绝对值都严格大 于同行的其它元素的绝对值之和，则称A为严 格对角占优矩阵。定理2.6 如果 为严格对角占优矩阵， 则A为非奇异矩阵。定理2.7 若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为严 格对角占优矩阵，则解此方程组的雅可比迭 代法和高斯-塞德尔迭代法都收敛。定理2.8 若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对 称正定矩阵，则解此方程组的高斯-塞德尔迭 代法收敛。定理2.9 若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为对 称正定矩阵，且02，则解此方程组的超 松弛迭代法(SOR法) 收敛。定理2.10 若解线性方程组Ax=b 的SOR法收敛，则02。有关线性方程组迭代解法的三点说明：（1）迭代终止判定：（2）由于受到机器字长的限制，舍入误差不可避 免，因此，迭代解法的收敛精度要求一般不宜小于 或接近机器精度。 （3）当给定的方程组不满足迭代法的收敛条件时 ，适当调整方程组中方程的次序或作一定的线性组 合，就可能得到满足迭代法收敛条件的同解方程组 。例题7 请写出以下线性方程组的雅可比迭 代矩阵和高斯-塞德尔迭代矩阵并判断迭代 法的收敛性。例题8 设有线性方程组试分析高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性 。作业6 请写出用雅可比迭代法和高斯-塞德 尔迭代法分别求解以下线性方程组时所对 应的迭代矩阵，并判断迭代法的收敛性。