高三数学一轮总复习学安案学案学案 3232 数列的综合应用数列的综合应用 导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际 问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、 生活中的应用自主梳理 1数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学 内容相联系的综合问题解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会 (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法 (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等 差、等比数列或常见的特殊数列问题 (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想已知数列的前若 干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的 (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由 Sn求an时，要对_进行分类讨论 2数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数 学模型 (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是 求an还是求Sn. (2)分期付款中的有关规定 在分期付款中，每月的利息均按复利计算； 在分期付款中规定每期所付款额相同； 在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增 值； 各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一 次付款的利息之和 自我检测 1(原创题)若Sn是等差数列an的前n项和，且S8S310，则S11的值为 ( ) A12B18 C22D44 2(2011汕头模拟)在等比数列an中，anan1，且a7a116，a4a145，则等于 ( )a6 a16A.B.2 33 2CD1 65 6 3若an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，把an的每一项都减去 2 后，得到一个新 数列bn，设bn的前n项和为Sn，对于任意的nN N*，下列结论正确的是 ( )Abn13bn，且Sn (3n1)1 2Bbn13bn2，且Sn (3n1)1 2Cbn13bn4，且Sn (3n1)2n1 2高三数学一轮总复习学安案Dbn13bn4，且Sn (3n1)2n1 2 4 “嫦娥奔月，举国欢庆” ，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在 点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是 ( ) A10 秒钟B13 秒钟 C15 秒钟D20 秒钟5(2011台州月考)已知数列an的通项为an，则数列an的最大项为 ( )n n258 A第 7 项B第 8 项 C第 7 项或第 8 项D不存在 6(2011南京模拟)设数列an，bn都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列lg an与lg bn的前n项和，且，则 logb5a5_.Sn Tnn 2n1探究点一 等差、等比数列的综合问题 例 1 设an是公比大于 1 的等比数列，Sn为数列an的前n项和已知S37，且 a13,3a2，a34 构成等差数列 (1)求数列an的通项； (2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.变式迁移 1 假设a1，a2，a3，a4是一个等差数列，且满足 04；b432；b2b4256.其中正确命题的个数是 ( ) A1B2C3D4 探究点二 数列与方程、函数、不等式的综合问题例 2 (2011温州月考)已知函数f(x)，数列an满足2x3 3xa11，an1f，nN N* *，(1 an) (1)求数列an的通项公式； (2)令Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1，求Tn；(3)令bn (n2)，b13，Snb1b2bn，若Sn0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标2k 为ak1，其中kN N*，a116，则a1a3a5_. 8把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表设aij (i，jN N* *)是位于这 个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a428.若aij2 009，则i 与j的和为_ 1 2 4 3 5 7 6 8 10 12 9 11 13 15 17 14 16 18 20 22 24 三、解答题(共 38 分)9(12 分)(2011湘潭模拟)已知点(1， )是函数f(x)ax(a0，且a1)的图象上一1 3 点，等比数列an的前n项和为f(n)c，数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足 SnSn1(n2)SnSn1 (1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn的最小正整数n是多少？1 bnbn11 000 2 00910(12 分)沿海地区甲公司响应国家开发西部的号召，对西部地区乙企业进行扶持性 技术改造乙企业的经营现状是：每月收入为 45 万元，但因设备老化，从下月开始需付设 备维修费，第一个月为 3 万元，以后每月递增 2 万元甲公司决定投资 400 万元扶持改造乙 企业据预测，改造后乙企业第一个月收入为 16 万元，在以后的 4 个月中，每月收入都比 上个月增长 50%，而后每个月收入都稳定在第 5 个月的水平上若设备改造时间可忽略不计， 那么从下个月开始至少经过多少个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带 来的总收益？高三数学一轮总复习学安案11(14 分)(2011广东执信中学模拟)已知函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)且f(1) .1 2 (1)当nN N*时，求f(n)的表达式； (2)设annf(n)，nN N*，求证：a1a2a3an1，q2，a11. 故数列an的通项为an2n1. (2)由(1)得a3n123n， bnln a3n1ln 23n3nln 2. 又bn1bn3ln 2，bn是等差数列， Tnb1b2bnln 2.n(b1bn) 23n(n1) 2故Tnln 2.3n(n1) 2 变式迁移 1 D 设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a12d4，又 04，故(2)正确； a4a3d5，所以b42a432，故(3)正确；又a2a42a38，所以 b2b42a2a428256，故(4)正确 例 2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an， 观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.高三数学一轮总复习学安案解 (1)an1fan ，(1 an)2 an3 3 an23an 32 3an是以 为公差的等差数列2 3又a11，ann .2 31 3 (2)Tna1a2a2a3a3a4a4a5a2na2n1 a2(a1a3)a4(a3a5)a2n(a2n1a2n1) (a2a4a2n) 4 34 3n(534n 313) 2 (2n23n)4 9(3)当n2 时，bn1 an1an1(2 3n1 3)(2 3n1 3)，9 2(1 2n11 2n1)又b13 ，9 2(11 3) Snb1b2bn 9 2(11 31 31 51 2n11 2n1)，9 2(11 2n1)9n 2n1Sn1，m1，1 2n 即m的取值范围是(，1 例 3 解 依题意，第 1 个月月余款为 a110 000(120%)10 00020%10%300 11 500， 第 2 个月月底余款为a2a1(120%)a120%10%300， 依此类推下去，设第n个月月底的余款为an元， 第n1 个月月底的余款为an1元，则an1an(120%) an20%10%3001.18an300. 下面构造一等比数列设1.18，则an1x1.18an1.18x，an1x anx an11.18an0.18x. 0.18x300.x，即1.18.5 000 3an15 0003an5 0003数列an是一个等比数列，公比为 1.18，首项a111 5005 000 35 000 35 000 3.29 500 3an1.18n1，5 000 329 500 3a121.1811，5 000 329 500 3a121.181162 396.6(元)，5 000 329 500 3 即到年底该职工共有资金 62 396.6 元 纯收入有a1210 000(125%) 62 396.612 50049 896.6(元) 变式迁移 3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为an， 由题意可知an是等差数列，其中a1250，d50， 则an250(n1)5050n200，Sn250n5025n2225n，n(n1) 2 令 25n2225n4 750， 即n29n1900，而n是正整数，n10. 到 2020 年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米 (2)设新建住房面积形成数列bn， 由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08， 则bn400(1.08)n1. 由题意可知an0.85bn， 即 50n200400(1.08)n10.85. 当n5 时，a50.85b6，高三数学一轮总复习学安案满足上述不等式的最小正整数n为 6. 到 2016 年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 课后练习区 1C 2.B 3.B 4.B 5.D 63 7.21 8.1079解 (1)f(1)a ，f(x)x.(11 3(1 3) 分)a1f(1)c c，1 3a2f(2)cf(1)c ，2 9a3f(3)cf(2)c；2 27又数列an成等比数列，a1 c，a2 2 a34 812 272 31 3 c1；(2 分)公比q ，an n12n，nN N*；(3 分)a2 a11 32 3(1 3)(1 3) SnSn1(SnSn1)(SnSn1) (n2)，(4SnSn1 分) 又bn0，0，1.SnSnSn1 数列构成一个首项为 1、公差为 1 的等差数列，Sn 1(n1)1n，Snn2.Sn 当