http:/www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育网第 1 页（共 4 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：01082310666点击指数方程与对数方程点击指数方程与对数方程蒋明权指数方程与对数方程的解法是高中数学的一个重要知识点，近年来，在这方面很少单独 命题，但在解一些大题目时，经常会用到这些知识。为此本文就指数方程与对数方程的常 见解法进行了探讨，希望能引起读者的重视。一一. 取对数法取对数法【例例 1】方程 xlgxx2=1000 的解集为_。解：原方程变形为 xlgx+2=1000，取对数得 lgxlgx+2=3，即（lgx）2+2lgx-3=0，解得 lgx=1 或 lgx=-3，于是 x=10 或 x=。即应填。1000110001x10xx或点拨：af(x)=ag(x)型方程可变形为 f(x)=g(x)；af(x)=bg(x)型方程可变形为 f(x)lga=g(x)lgb；af(x) =b 型方程可变形为 f(x)=logab。二二. 换元法换元法【例例 2】方程的解集为_。8)154()154(xx解：对原方程变形为，01)154(8)154(xx2设 y=，原方程可化为：x)154(y2-8y+1=0，解得 y=4+或 y=4-。1515亦即，154)154(x或，154)154(x于是 x=2 或 x=-2。http:/www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育网第 2 页（共 4 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：01082310666即应填。2x2xx 或点拨：对于 f(ax)=0 型方程，只须设 y=ax，原方程就变形为 f(y)=0。三三. 整体代换法整体代换法【例例 3】方程 log3(3x-1)log3(3x-1-)=2 的解集为_。31解：原方程变形为 log3(3x-1)log3=2，) 13(31x即log3(3x-1)2-log3(3x-1)-2=0，设 y=log3(3x-1)，原方程可化为：y2-y-2=0，解得 y=-1 或 y=2，亦即 log3(3x-1)=-1，或 log3(3x-1)=2。于是 3x=，或 3x=10。34解得 x=log34-1 或 x=log310。即应填。10logx14logxx33或点拨：把一个代数式当作一个整体进行换元，以达到减少运算量的目的。四四. 图象法图象法【例例 4】方程 lgx=sinx 的根的个数是（ ）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个解：设 y1=lgx，y2=sinx，在同一坐标系作出它们的图象；这两条曲线只有 3 个交点，易知方程 lgx=sinx 的根的个数是 3 个。即应选 C。http:/www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育网第 3 页（共 4 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：01082310666图 2【例例 5】设方程 lgx=10-x 的根是 ，方程 10x=10-x 的根是 ，则 + 的值是（ ）A. 100B. 10C. 5D. 4解：设 y1=lgx，y2=10x，y3=10-x 在同一坐标系作出它们的图象：于是 =，由于函数设 y1=lgx 与 y2=10x关于直线 y=x 对称，因而OB，OA。10OCOABCOBOA，BCOA即应选 B。点拨：利用数形结合的方法来解决代数问题，具有直观形象，生动新颖的特点，此法在 高中数学中具有广泛的应用。五五. 逆用定义法逆用定义法【例例 6】已知关于 x 的方程 2a2x-27ax-1+3=0 有一个根是 2，求 a 的值和方程其余的根。解：x=2 是关于 x 的方程 2a2x-27ax-1+3=0 的一个根，2a27a+3=0，解得 a=或 a=321（1）当 a=时，对原方程变形为21，03)21(14)21(8xx2于是23)21(41)21(xx或解得 x=2 或 x=1log23。（2）当 a=3 时，对原方程变形为 232(x-1)143x-1+3=0，于是 3x-1=或 3x-1=3，21解得 x=1-log32 或 x=2。http:/www.ehappystudy.com 快乐学习，尽在中小学教育网第 4 页（共 4 页） 正保远程教育 地址：北京市知春路 1 号学院国际大厦 18 层 24 小时客服热线：01082310666综上所述，a 的值为或 3。21当 a=时，方程的另一根是 x=1log23；21当 a=3 时，方程的另一根是 x=1log23。六六. 变换主元法变换主元法【例例 7】设对数方程 lg(ax)=2lg(x-1)，讨论当 a 在什么范围内取值时，该方程有解，并求 出它的解。解：ax0 且 x1，当 a0，x1 时，原方程可化为 ax=(x-1)2。变换主元，求出原方程有解的条件，即求当 x1 时，a=的值域。x) 1x(2a=0（x1） 。x) 1x(22) x1x(当 a0 时，原方程有解，解方程 x2-(2+a)x+1=0，得。而，2a4aa2x21，2a4aa22。2a4aa2x2因而当 a0 时，原方程有解为。2a4aa2x2点拨：主元与非主元是相对的，是可以互相转变的。在解题过程中，可根据需要，进行 不断的调整。