3.33.3 几何概型几何概型一基本内容：一基本内容： 1几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。 2.2. 几何概型的特点： 试验的结果是无限的； 1每个结果出现的可能性相等。 23几何概型的概率公式： 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件AAP)(二例题分析：二例题分析： 题型一题型一: : 区域型概率问题区域型概率问题 例例 11将一颗骰子先后抛掷 2 次，观察向上的点数，则以第一次向上点数为横坐标，第x二次向上的点数为纵坐标的点在圆的内部的概率_.y),(yx2722 yx【解题思路解题思路】用几何概型求解，转化为圆内找出圆内满足条件的整点个数。【解析解析】基本事件总数为 36，点，在圆的内部记为事件，则包含),(yx2722 yxDD17 个事件，所以。3617)(DP【规律总结规律总结】对于几何概型,关键是要构造出随机事件对应的几何图形,利用几何图形的几何 度量来求随机事件的概率.在高中阶段,我们主要研究与几何图形的长度,面积或体积有关 的几何概型问题.在解题中要多加思考,培养逻辑思维能力【互动探究互动探究】 1若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在圆2225xy内的概率是（ ）1 213 364 95 12答案：B 例例 22 （广州市海珠区 2009 届高三上学期综合测试二）在区域内 200,yxyxM随机撒一把黄豆,落在区域内的概率是 . xyyxyxNsin200,【解析解析】。12 （广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一）如图，矩形长为 6，宽为 4，在矩形内随 机地撒 300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此实验数据为依据可以估计出椭 圆的面积约为（ ）.A B C D7.6816.3217.328.68答案：B 提示：用几何概型公式。 例例 33 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概 率 （测度为长度） 【分析分析】点M随机地落在线段AB上，故线段AB为区域D当点M位于图335 中线段AC内时，AMAC，故线段AC即为区域d解：在 AB 上截取 AC=AC，于是 P（AMAC）=P（AM）CA =.22 ABAC ABCAABCCM答：AM 的长小于 AC 的长的概率为.22【互动探究互动探究】 3.已知正棱锥 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正棱锥内任取一点 P，使得21ABCPV的概率是（ ）ABCSVABCD43 87 21 41【解析解析】利用几何概型87例例 4是满足不等式组的区域，是满足不等式组的区域，区A 4040yxB 444yxyx域内的点的坐标为，APyx,（）当时，求的概率；, x yRBP（）当时，求的概率, x yZBP44yx（ 4（ 4（_ b_ y=x_ a_ 3_ 0_ 2解：画出不等式组表示的可行域如图所示, 4040yx其中 2 分(4,0),(4,4),(0,4)DEF为图中阴影部分3 分B （）当时,事件“”的概率为, x yRBP7 分1 2DEFODEFS S正方形 （）当时,中含整点个数,中含整点个数10 分, x yZA5 525N B015N 从而事件“”的概率为BP0153 255N N答:当时,”的概率为;当时, 的概率为., x yRBP1 2, x yZBP3 5 【互动探究互动探究】 4 （改编 2008 海南、宁夏文 20）一元二次方程，0222baxx其中，求此方程有实根的概率。 3 , 0a2 , 0b【解析解析】试验的全部结果所构成的区域为 ，( , )|03,02a bab构成事件的区域为，A( , )|03,02,a babab故所求的概率为 213 2222( )3 23P A 的概率为 .85题型题型 4:4: 相会型概率问题相会型概率问题 例例 55 两人相约 6 时到 7 时在某地见面，先到者等候另一人 10 分钟，如果另一人还没到， 这时方可离去，试求这两人能会面的概率？ 【解题思路解题思路】此题涉及了两个变量，应设未知数，根据条件列出不等式，转化为坐标平面 内的平面区域，用几何概型求解。渗透了转化，数形结合等重要的数学思想方法 【解析解析】设分别表示两人到达的时刻yx,则 即其平面区域为 060 060 | 10x y xy 0600601010xyxyxy 设“两人能见面”为事件，则A的面积的面积 DdAP)(22605011 6036【规律总结规律总结】用几何概型解题，主要运用转化，数形结合等重要的数学思想方法【互动探究互动探究】B1010C0Axy5甲、乙两人约定 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时 即可离去，求两人能会面的概率 解：用x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的条件是15xy，在平面上建立直角坐标系如图所示，则()xy，的所有可能结果是边长为60 的正方形，而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示，这是一个几何概型问题，由等可能性知，22260457( )6016dDP A 三课外练习：三课外练习： 1某环靶由中心圆和两个同心圆环、圆环构成，某射手命中区域、的概率 分别为 0.35、0.30、0.25，则该射手射击一次未命中环靶的概率为（ ） 0.10.650.700.75 答案：A 2如图，边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是2 3，则阴影区域的面积为（ ）4 38 32 3无法计算答案：B 3设A为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径 2 倍的概率 是（ ）3 41 21 33 5答案：B4在区间（0，1）中，随机的取出两数，其和小于的概率（ ）1 2A. B. C. D. 1 81 43 47 8 【解析解析】答案：D 5某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个 乘客候车时间不超过 3 分钟的概率是（ ）1 53 101 23 4答案：B 6 （2008 广州市海珠区高三综合测试）用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成 若干图形，现将一粒豆子随机撒在第 100 个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是（ ）A. B. C. D. 21 5013 603503 59337【解析解析】答案:C 7在ABC内任取一点P，则ABP与ABC的面积比大于2 3的概率为（ ）1 31 41 61 9答案：D8 8设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，则弦长超过半径倍的概 率是（ ）【解析解析】B 利用几何概型9已知集合，集合，若1| ),(22yxyxA0| ),(ayxyxB的概率为 1，则的取值范围是_ BAa【解析解析】答案：2,2a10 （江苏省滨海县 08 届高三第三次联考数学试卷）下图的矩形，长为 5，宽为 2，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 【解析解析】利用几何概型5232530013811取一个边长为a的正方形，如图所示，随机地向正方形内丢一粒沙子，则沙子落入阴 影部分的概率是 答案：4 212三角形ABC中，EFG，为三边的中点，若在三角形上投点且点不会落在三角形ABC 外，则落在三角形EFG内的概率是 答案：1 413在平面区域中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事件，则事件dA发生的概率为。在边长为 2 的正方形内任取一点，使得A的面积的面积 DdAP)(ABCD的概率为 。90APB【解析解析】 计算出事件的面积除以正方形面积。88A14一栋楼房有 4 个单元， 甲、乙两人住在此楼内 ，则甲、乙两人住同一个单元的概率 为 答案：1 415一海豚在水池里自由游弋，水池为长 30m，宽 20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边 不超过 2m 的概率 答案：解：如右图，区域D是长 30m，宽 20m 的长方形，图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过 2m” ，于是23020600(m )D，2302026 16184(m )d，( )0.31dDP A 16如下图，在边长为 1 的正方形 ABCD 内（包括边界）任取一点 M，求：（1）AMB 的面积大于等于1 4的概率；（2）AM 的长度小于 1 的概率 解：（1）如图 1 所示，取BCAD，的中点EF，连结EF，当M在CEFD内运动时，ABM的面积大于等于1 4，由几何概型的概率的定义知1 2CEFDSPS矩形正方形（2）如图 2，以A为圆心，AB为半径作圆弧，M在阴影部分时，AM长度大于等于 1，由几何概型的概率的意义知211 114ABCDSPS 阴影 417在区间(01)，上随机取两个数m、n，求关于x的一元二次方程20xnxm有实根的概率 解：在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示mn，的值，DCBA因为m、n是(01)，中任意取的两个数，所以点()mn，与右图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域设事件A表示方程20xnxm有实根，则事件40 ()|1 01nm Amnnm n ， ，所对应的区域为右图中的阴影部分，且阴影部分的面积为1 8故由几何概型公式得1( )8SP AS阴影正方形，即关于x的一元二次方程20xnxm有实根的概率为1 818先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为.2, a b（）设函数，函数，令，求函数( )f xxa( )g xxb( )( )( )F xf xg x有且只有一个零点的概率；( )F x（）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率, ,5a b【解析解析】 （）先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为,事件总数为2, a b6 636函数有且只有一个零点( )F x函数与函数有且只有一个交点( )f xxa( )g xxb所以，且ba,1,2,3,4,5,6a b满足条件的情况有；2,1ab3,1,2ab4,1,2,3a