数学新教材第三章数列简介奉化中学 杨亢尔一、概述一、概述 新教材第三章“数列”的教学内容主要是数列的基本概念以及等差数列 和等比数列。 关于数列，早在公元前 100 年前的周髀算经里就记载着有关等差数 列的问题。到了宋、元年间，沈括提出了一种计算层层堆积的酒坛总数的方 法，后来杨辉、朱世杰等人继续对等差数列进行了深入研究，并达到了较高 水平。他们在高阶等差数列研究方面取得的某些成果，要比欧洲早三四百年。数列是中学数学中的一项重要课题，其作用可从以下三个方面来看： （1）数列有着重要的实际应用。例如，为了实现产品尺寸标准化，使 各种产品尺寸之间互相配合，国家有关部门颁布了产品尺寸的“优先数系” ， 要求各生产部门最大限度地根据优先数系来设计产品尺寸。这个“优先数系” ，就是根据等比数列的原理编制的，又如，斐波那契数列在优选法等方面也 有着重要的应用。 （2）学习数列，可为后面学习数列的极限作好准备。 （3）数列是培养学生归纳和分析问题能力的良好题材，学生在这里可 以得到很多观察数列特点、然后归纳其中规律的训练。此外，数列与其他数 学内容有着广泛的联系，与数列有关的综合问题很多，因而学习数列有助于 学生从整体上认识中学数学内容，提高他们综合运用知识解决问题的能力。 本章教学时间约需 15 课时（含研究性课题 3 课时） 3.1 数列 约 2 课时 3.2 等差数列 约 2 课时 3.3 等差数列的前 n 项和 约 2 课时 3.4 等比数列 约 2 课时 3.5 等比数列的前 n 项和 约 2 课时 3.6 研究性课题：分期付款中的有关计算 约 3 课时小结与复习 约 2 课时二、教材结构二、教材结构 新教材将数列与数学归纳法、极限分开，并从原来的高二提前到高一 （上）来学习，而将数学归纳法、极限与新增加的微积分初步知识一起列入 高三限定的选修课内容（选修只要求极限与导数） ，这是本章教材的一个新变化，这样调整、安排体现了新教材“面向全体学生，促进全面发展”的 改革精神。由于数列是以正整数为自变量的一种特殊函数，把数列安排在第 二章函数之后来学习，既有利于用函数的观点来认识数列的本质，也有利于 加深和巩固对函数概念的理解。又由于数列这部分知识与以前所学的数、式、 方程、函数、简易逻辑等许多知识都有较为广泛的联系，因此学习本章对初 中所学知识能起到及时复习和不断深化的作用。作为高中数学的首册， 在内容的选择和顺序安排方面突出的特点是基础性强、工具作用大，与前二 章类似，按大纲规定数列部分的教学内容和教学目标在难度上有所控制，在 高一学习它不会有太大困难。三、教学内容三、教学内容 1、引言 新教材从国际象棋的传说故事出发，引出与本章内容相关的问题，使学 生对数列、数列的通项公式与前 n 项和有了一个初步的印象，通过对本章内 容的扼要说明，使学生了解全章的概貌。引言提出的问题涉及到求等比数列 的前 n 项和的计算问题，通过学习本章，可在 3.5 节里获得解决。新教材运 用传说、故事制造问题悬念，既激发了学生兴趣，又丰富了数学文化。相比 于原教材，新教材在每章一开始就给人耳目一新的感觉。 2、数列 （1）数列的概念 新教材先给出一个描述性定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。在 这个定义中，只强调有“次序” ，不强调有“规律” ，任意一个数集，如果已 将其中的元素按第一、第二的序号排成一列，就可以叫做数列，如果没 有排序，就不能叫数列。教材接着指出：“从映射、函数的观点来看，数列 可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集1，2，n ） 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式 也就是相应函数的解析式” ，这与原教材相比较多了首尾两句话，新教材对 数列概念的阐述更为确切，这样就将数列与函数紧密联系起来，不仅加深了 对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究离散型函数数列。（2）数列的分类 按项数有限、无限来分，数列可分为有穷数列、无穷数列。建议补充： 按数列的项是否有界来分，可分为有界数列、无界数列；按数列的项的大小 变化来分，可分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列。这样处理， 为日后用学过的函数知识（如单调性、有界性）去解决数列问题提供了方便。（3）数列的表示方法函数有三种常用表示方法（公式、图象、列表） ，数列同样也有，和函 数一样，不是每一个数列都能用解析式表示出来，新教材主要介绍了数列的 通项公式和递推表示法。 第一种方法：数列的通项公式。前面已提到，数列的通项公式就是相应 函数的解析式，这样一语道破，数列与函数的内在联系更加清楚。一个数列 如果有通项公式，那么它是一个函数解析式，这样的数列可以用图象来表示，图象是由一系列孤立的点所组成的图形。另外，仅知数列的前几项，)(,(nfn只揭示了数列的部分属性，因而有无穷多种数列满足条件。因此， “根据前 几项写出数列的一个通项公式”的问题中“一个”两字不可省略。 求一个数列的通项公式，有以下四种基本方法： 直接法：就是由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行 代数运算写出。 观察分析法：根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第 n 项的表达式即通项公式。na待定系数法：求通项公式的问题，就是当时求，使, 2 , 1n)(nf依次等于的问题。因此我们可以先设出第项关于变数的)(nf,21aannan表达式，再分别令，并取分别等于，然后通过解方程组, 2 , 1nna,21aa确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式。 递推归纳法：根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式。第二种方法：数列的递推公式。递推是数学中一个非常重要的概念和方 法，有通项公式的数列只是少数，研究递推公式给出数列的方法可使我们研 究数列的范围大大扩展。新教材明确给出“递推公式”的概念：“如果已知数列的第 1 项（或前几项） ，且任一项与它的前一项（或前几项） nana1na间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。”这是新教材的一个重要变动，如例 3 中就是递推公式，加上111nnaa其它条件（如） ，就可写出数列的前几项。11a关于递推公式，高中数学教学大纲的教学目标是：了解递推公式是给出 数列的一种方法，并能根据递推公式写出这个数列的前几项。但从近两年高 考试题（理科）来看，这一教学要求似乎值得商榷。 3、等差数列 （1）等差数列的概念 新教材在引入等差数列概念时，观察数列共同特点由原来的一个数列增 加到三个数列，使学生更容易发现等差数列的定义的两个要点：一是“从第 2 项起” ，二是“每一项与它前一项的差等于同一个常数” ，这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”这五个 字则体现了等差数列的基本特征。 （2）等差数列的通项公式 教材由等差数列的定义，通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式， 这种推导起到使学生观察分析、归纳猜想的作用，但新教材增加了一段话：“当 n=1 时，上面等式两边均为，即等式也是成立的，这表明当时1a Nn上面等式都成立，因而它就是等差数列的通项公式。 ”这样叙述比过na去更严密，在数学归纳法移至高三选修内容这一背景下，这一点尤显必要。等差数列的通项公式中含有四个变数，如果知道nadnaan) 1(1了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这种可行性与求出 未知数的过程可以称为“知三求一” 。 （3）等差中项由等差数列的定义可知，是成等差数列的充要条件，两2baAbAa,个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，由可得121nnnnaaaa,所以等差数列的任一项（首末两项除外）是它的前一项与后22 1 nn naaa一项的等差中项。当已知成等差数列时，通常采用作为解决cba,cab2问题的出发点。 （4）等差数列的图象新教材突出了一次函数的联系，以数列为例，原教材说法是：12 nan“从图中看到，表示这个等差数列的点都在同一直线上” ，现改为12 xy“相应的图象是直线上的均匀排开的无穷多个孤立点，如图所示” ，12 xy这样便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质。例如两点可以决定一条直线，两项就可以决定一个等差数列；由变形dmnaamn)( 为就是斜率公式。dmnaamn注意：不能说等差数列或它的通项公式是一次函数，等差数列只是某个 一次函数（或常数函数）的一系列孤立的函数值；一次函数是有严格定义的， 它的定义域是实数集 R，图象是（连续的）一条直线。这是目前教学中普遍 出错的地方！ （5）建议补充等差数列的基本性质 当 d0 时，等差数列中的项随项数的增大而增大；当 d1 时，如果存在一项 a0（或0（或0） ，那么等比 数列中的项随项数的增大而减小（或增大） ；当 q=1 时，等比数列中的项等 于同一个常数；当 q0 时，等比数列中的数不具有单调性。 在有穷的等比数列中，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于 首末两项的积，即：如果(都是正整数)，那么。qpnmqpnm,qpnmaaaa如果数列是等比数列，那么它所有的顶都不等于 0，且所有的na。02nnaa如果数列是等比数列，那么数列 （c 为常数） ， ，nanca1 na也都是等比数列，且其中的公比不变， 的公比等于nanca1 na原公比的倒数， 的公比等于原公比的绝对值。na两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积。 7、等比数列的前 n 项和 对引言中“国王与象棋”故事的悬念解决引发出等比数列前 n 项和的公 式同样令人耳目一新。当时，求等比数列前 n 项和的方法一般是选用的表达式的特点，1qnS先推算，这样可以消去大量的“中间项” ，从而能解出。这种推nnqSS nS算方法不仅能导出当时等比数列的前 n 项和的公式，而且对于求其它数1q列的前 n 项和也有一定的启发。如果数列是公比为的等比数列，那么它的前项和公式是naqn qqana Sn n 1)1 (11)1()1( 时当时当 qq也就是说，公比为 q 的等比数列的前 n 项和是 q 的分段函数，分段的界 限是在 q=1 处，这一点要特别强调。与等差数列相仿，已知等比数列的五个元素，,与中的任1aqnnanS意三个，可以通过列方程组求出另外两个。 8、研究性课题分期付款中的有关计算研究性课题，主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角 度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。它与本套教科书中 的另一专题性栏目“实习作业”有一定的共同之处，但“研究性课题”突出 了探究性，而“实习作业”则实践性更强。按照新大纲的规定，高中新教材 增设了“研究性课题”等六个参考课题，其中“数列在分期付款中的应用” 是第一个研究性课题。四、教材特点四、教材特点 1习题设计更具有针对性和层次性 为便于知识巩固和教学目标的检测，将原教材中的习题（习题十七、十 八）以及复习参考题六分解为五组习题（3.1，3.2，3.3，3.4，3.5）以及复习 参考题 A 组和 B 组，这样既保证了学生对所学知识消化的及时性和针对性， 同时还可充分利用带*号的习题和 B 组题，以保证学有余力学生加深和拓宽 知识。另外，从题目的难度看，改变了旧教材中习题与高考题在难度上的过大落差，复习参考题中的不少问题与高考要求相差无几，有的甚至就是高考 题，为使题型与高考题