分数分数 Zener 模型在硫化橡胶应力松弛中的应用模型在硫化橡胶应力松弛中的应用贾英英摘要摘要 基于分数 Zener 模型对硫化橡胶 GR-S 和 Hevea 的应力松弛模量和储存 及损失模量进行了拟合.应用遗传算法结合共轭梯度法对模型参数进行优化.结果 表明,该模型能够很好的描述硫化橡胶的应力松弛过程,而且该模型的静态和动态 过程的曲线拟合用的是同一套参数,由此得出,用遗传算法结合共轭梯度法把模型 的应力松弛过程的参数优化之后,可以将该组参数直接用到动态过程中. 关键词关键词 硫化橡胶; Zener 模型; 应力松弛模量; 储存及损失模量聚合物在我们日常生活的各个领域具有广泛的应用.同一个聚合物随着温度 和实验所选择的时间尺度的不同,可以具有弹性固体和粘性液体之间的所有性质, 即粘弹性.宏观上描述粘弹行为的经典模型就是将弹簧和粘壶进行串并联形成不 同的网络结构并建立相应结构的动力学方程,这些方程具有整数阶微积分的形式. 将分数阶微积分引入粘弹性的本构方程,使得粘弹性理论有了很大的发展,分数阶 动力学方程在本质上是耗散的,能正确的反映粘弹性的记忆效应1,2.本文用分数 Zener 模型对硫化橡胶 GR-S 和 Hevea 的应力松弛和动态过程进行了拟合.1 分数粘弹单元及分数阶粘弹模型分数粘弹单元及分数阶粘弹模型 1.1 分数粘弹单元分数粘弹单元 Boltzmann 叠加原理在粘弹理论中的基础地位3,4:(1)( )( )()tdtd G td 如果把模量 G(t)取为自相似幂指数衰减规律:(2)( )(1)EtG t则有:(3) 1 1tdEtddt 其中 01, 则 (1-)及模量 G(t)为负. 根据 RiemannLiouvilleLiouville 对分数阶导数的定义及性质5,6,可以把(3)写为:(4) dttEdt Koeller 将服从此本构方程的粘弹模型称为弹壶或分数粘弹单元7,8.当 =0 时,弹壶为弹簧,当 =1 时,弹壶为粘壶,给 不同的值时,弹壶的本构方程从理想 的固态到理想液态连续变化,这就消除了仅仅是弹簧或粘壶的限制. 1.2 广义分数广义分数 Maxwell 模型模型 将 2 个分数单元(,1,E1) ,(,2,E2)串联形成广义分数 Maxwell 模型,在串联 结构中 2 分数粘弹单元的应力相等,总应变为 2 个单元的应变之和,假定 01,分 数 Maxwell 模型的本构方程为9,10:(5) dtdttEdtdt 其中,.该模型有 4 个独立的参数, 其中 和 11 122EE 11EE 是初始玻璃态和终结流动态的指数,在双对数坐标中应力松弛曲线始端和末端斜 率的负值,E 为 t=0 时的模量, 为特征时间,通过 Mellin 变换可以得到式(5)的解 析解为9:(6) 11 121,1,; 0,1EtG tH 上式中为 Hfox 函数,它的表达式为9: 11 12H(7) ()111 12 0,1 1(),; 0,1k aAkka AxHxAkaAa A 对于大的 x,式(7)的收敛很慢,在实际的数值计算中,我们会用到:(8) (1) 11111 1221 1,1,1,11(1 )1 1 (1),; 0,11,;kkaAka Aa AxHxHAxkaAa Aa A 对(5)式两边作 Fourier 变换,可以得到广义 Maxwell 模型的复数模量: (9) * 1E iG i 其储存模量（实部）和损耗模量（虚部）分别为:(10) 22coscos2212cos2GE (11) 22sinsin2212cos2GE 1.3 广义分数广义分数 Zener 模型模型 将广义分数 Maxwell 模型与分数单元(,3,E3)并联形成广义分数 Zener 模型,约 定 01 且 01, 分数 Zener 模型的本构方程为9:(12) 0dtdtdtdttEEEdtdtdtdt 其中, 和. 对于并联结构, 总11 122EE 011EE 33EE的模量为各并联部分的模量之和.所以分数 Zener 模型的应力松弛模量为 Maxwell 模型模量和分数元(,3,E3)的模量之和9:(13) 110 121,11,; 0,1EtEtG tH 该模型有 6 个参数,其中参数 E0, , , 与分数 Maxwell 模型的参数有相似的意义,而 和 E 是终结的时段的松弛指数和模量. 对(12)式两边作 Fourier 变换,可以得到分数 Zener 模型的复数模量:(14) 0* 1EiGE i i 相应的储存模量（实部）和损失模量(虚部)分别为:(15) 202coscos22cos212cos2GEE (16) 202sinsin22sin212cos2GEE 2. H-Fox 函数的计算函数的计算 H-Fox 函数在分数阶粘弹理论中有着重要的作用.由于这个函数在数值计算 中运行比较困难,这就限制了分数阶粘弹模型的应用.对于表达式(7),依据递推关 系,(z+1)=z(z),求和项的分母是以阶乘方式增加,而分子以幂律的方式增大,理论 上对于任意的 x 值总是收敛的.但在实际计算中,我们发现在较小时,收敛较快.x 在较大时,收敛很慢,计算存在困难,其原因可能是:一方面在达到收敛条件(通常x 取 10-6)之前求和项的分子或分母会越出双精度的范围(10308),另一方面式(7)求和 是由绝对值很大的正负相间的大数相加给出的小数,累计误差很大. 对于较大的 x 值的计算我们根据 H-Fox 函数的性质(10)将其转变为 1/x 的函 数.在式(8)中,分母是 (z)函数.当 z0 时,通过应用 (z)=(z+1)/z 来计算 (z)的,如 图 1,给出了-5z6 时, 函数的图像,可以看出对于 z 为负整数时 1/(z)为 0,而 (z)就为无穷大,当 z 为其他的负值时, 1/(z)在正负之间震荡,而且随着 z 的绝对 值的增加震荡变得剧烈.因此处理式(8)的收敛性的问题时应非常谨慎.在目前的 研究中,我们采用的收敛条件是 4 个连续项的值小于 10-6. 我们用遗传算法结合共轭梯度法对模型参数进行优化11.用遗传算法对于参 数在其允许的范围内进行全局搜索,用共轭梯度法对遗传算法给出的每组参数进 行局域优化,从而得到最优化参数值. 3. 分数分数 Zener 模型对硫化橡胶的动态和静态曲线的拟合模型对硫化橡胶的动态和静态曲线的拟合图图 1 1/(x)-x 曲线图图 2 分数 Zener 模型对硫化橡胶 GR-S 和 Hevea 应力松弛的拟合图图 3 分数 Zener 模型对硫化橡胶 GR-S 和 Hevea 的动态过程的拟合表表 1 分数 Zener 模型对硫化橡胶 GR-S and Hevea 的应力松弛的拟合参数,Welch13确定的参数如括号所示.10-10 sE0109 PaE106 PaGR-S0.700.050.0512.21.146.61Hevea0.870.050.040.901.902.81Tobolsky 在 1960 年对硫化橡胶 GR-S 和 Hevea 的静态和动态过程进行了测量12.GR-S 的应力松弛曲线的初始和终结部分都出现了 2 个平台.所以我们基于分数 Zener 模型对其静态过程进行了拟合.拟合参数如表 1 所示,应力松弛曲线如图 2,由图看出,分数 Zener 模型能够对该松弛过程给出很好的描述,起始时段和终结时段的应力衰减缓慢,中间转变区应力衰减很快.我们把应力松弛过程中得到的参数用于动态过程中,利用式(15)和(16),对GR-S 和 Hevea 的动态模量进行拟合12,如图(3). 结果表明,这套参数也能够很好的拟合动态过程.由此得出松弛模量,储存和损失模量的拟合过程用的是同一套参数.因此广义分数 Zener 模型能够对实验数据给出很好的描述.4 结论结论分数 Zener 模型的应力松弛分为三个区域,起始和终结时段应力的缓慢衰减 以及中间转变区应力的快速衰减.通过对应力松弛过程和动态过程的曲线拟合,我 们会发现,这两个过程用的是同一套参数,所以只要用遗传算法结合共轭梯度法把 模型应力松弛过程的参数优化之后,可以把这套参数直接用到动态过程中去.参考文献参考文献: 1 Surguladze T Z. On certain applications of fractional calculus to viscoelasticityJ. J Math Sci, 2002, 112(5): 4517-4557 2 徐明瑜, 谭文长. 中间过程 临界现象-分数阶算子理论 方法进展及其在现代力学中的 应用J. 中国科学 G 辑:物理学 力学 天文学, 2006, 36(3): 225-238 3 Ward, I M. Mechanical Properties of Solid PolymersM, Wiley, Chichester, 1983. 4 Tschoegl, N W. The Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic BehaviorM, Springer, Berlin, 1989. 5 Oldham, K B, Spanier, J. The Fractional CalculusM, Academic Press, New York, 1974. 6 Miller, K S, Ross, B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential EquationsM, John Wiley Wiley: New York, 1960.