80p 为ABC 的边 BC 上的中线上的一点，BP、CP 分别交 AC、 AB 于 F、E.求证：EFBC. 证法一：过 P 作 BC 的 平行线交 AB、AC 于 M、N. 则 PM=PN又 .BCPM ECPE.BCPN FBPF.FBPF ECPEEFBC. 证法二：作 DMAC 交 BF 于 M，DNAB 交 CE 于 N.则 DM=，DN=.CF21BE21又CFAFCFAF DMAF PDAP221 即.22 BEAE CFAF.BEAE CFAFEFBC.81.ABC 中BAC 的平分线交 BC 于 D，过 A 作一圆切 BC 于 D，交 AB、AC 于 E、F。求证：EFBC。 证法一： AD 平分BAC 即ABAC DBDC2222ABAC DBDC又AEF 切 BC 于 D 、CAFCDC2BABEDB2 ABBEACFC DBDC 22ABBEACFC ABAC 22即 BEFC ABACACCF ABBEEFBC。 证法二： 连 DF，则EFD=EAD=DAC=FDC EFBC。NMPABCDEFPABCDEF NM.221BEAEBEAE DNAE PDAP.ABCDET F.ABCDET F.82过圆的内接四边形 ABCD 的顶点 C，引 CGBD，垂足为 G， 并延长与 DA 交于 E，过 D 点引 DHCA，垂足为 H，并延长交 CB 于 F。求证：EFAB。 证法一：A、B、C、D 共圆。 BCA=BDA，CBA+CDA=180 又ECBD 于 G，DFAC 于 H。 CFH=DEG (等角的余角相等) 即CFD=CED。 C、D、E、F 共圆。即CFE+CDE=180 由、得：CBA=CFE，即 EFAB。 注：1.可通过证FCE=FDE 来证 C、D、E、F 共圆. 2.证明CFD=CED 的方法较多。 如设 DF、CE 交圆于 K、L。 作 BMDF 于 M，ANCE 于 N。 先证：CDBK=CDAL；MBF=NAE； 证法二：设 CE、DF 交圆于 M、N； CE，DF 交于 K；连 MN。 CEBD 于 G，DFAC 于 H。 则 C、D、H、G 共圆， CHK=DGK=90 CKH=DKG HCK=GDK，即ACM=BDN。 AM=BN，MNAB 由、得：CKHDKG， KHKG KCKD CHDG又A、B、C、D 共圆，ACB=ADB，即HCF=GDE 由、得：CHFDGE， FHEG CHDG由、得：，运用等比定理得；。KCKD KHKG FHEGKCKD KFKE。C、D、E、F 共圆。KDKFKCKE FEC=FDC=NMC，EFMN 由、得：EFAB。 注：1.证明 MNAB 的方法不是一种。如可通过证(设 AB、CE 交 于 L) NMC=NDC=CDB+BDN， BLC=BAC+ACK=BDC+BDN。 2.可连 HG，仿上面证法来证 EFAB。 3.在证得 C、D、E、F 共圆后，可采用证法一的方法证或运用ABCDEFHGABCDEFHGNM KLABCDEFHGKL*NM两直线平行的其他判定定理来证。 证法三：延长 CA、FE 交于 K。 C、D、E、F 共圆(见证法一或证法二) BCD=AEK BFD=AEC 又A、B、C、D 共圆， CBD=CAD=EAK 由、得：BCDAEK， AKBD AEBC又CEBD 于 G，DFAC 于 H。 C、D、H、G 共圆。GDH=GCH，即BDF=ACE 由、得：BFDAEC， ACBD AEBF由、得：，即。EFAB。BDAEACBFAKBCAKAC BFBC证法四：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴建立如图的直 角坐标系。令圆的半径为 R，圆心 O(0, b )，A(a,0)，B(a,0) 设 C(x1,y1) ，D(x2,y2)，则有： x12+(y1b)2= x22+(y2b)2=R2= a2+b2， 即 x12+y12a 2=2by1 ， x22+y22a 2=2by2。又，。axykAC11 axykBD22DFAC，CEBD。，。11 yaxkDF22 yaxkCE： DFl2 11 2xxyaxyy： CEl1 22 1xxyaxyy又： ： BClaxaxyy11 ADlaxaxyy22解、得 F 的坐标：F 22 12 121211 22 12 122 122 1121,ayxaxaxyyyayxaxxayaxyy解、得 E 的坐标：E 22 22 221212 22 22 222 222 2221,ayxaxaxyyyayxaxxayaxyy把 x12+y12a 2=2by1 ， x22+y22a 2=2by2分别代入 F、E 纵坐标的代数式得：yF=， yE=。 baxaxyy 22121 baxaxyy 22121AKBCDFHGExyB(-a,0)A(a,0)D(x2,y2)C(x1,y1)O(0 ,b)EF.HGyF= yE，即 EFAB。