數亦優 5 摘要 高中數學微積分教材已處理三次函數的圖形及三次方程式實根的判別問題：當三次函數當三次函數有兩個相異臨界點時（即判別式有兩個相異臨界點時（即判別式時），時），32( )f xaxbxcxd230bac若若有三個相異實根，則函數有三個相異實根，則函數在兩臨界點的值異號；反之，在兩臨界點的值異號；反之，( )0f x ( )f x若函數若函數在兩臨界點的值異號，則在兩臨界點的值異號，則有三個相異實根。有三個相異實根。( )f x( )0f x 本文將用行列式的方法，進一步探討三次方程式根的判別。內文三次函數在兩臨界點的值異號，意謂函數值的乘積小於 0，即( )f x, ，但要如何求出函數在臨界點之值的乘積呢？底下，我們考慮多項( )( )0ff式函數及其導函數，並求出除以的餘式，嘗試連結它們的關聯，( )f x( )fx( )f x( )fx初步得到下面的結論：引理引理 1 1：次多項式（其中）除以次多項式n1 110( )nn nnf xa xaxa xa L2n 1n的餘式為12 1210( )nn nng xbxbxb xb L，23 12212 11( )nn nnnr xxxx b L其中為三階行列式，且。k11211210nnnnnnknknkababbabb 12kn111210000nnnnnnababbab證明 餘式的項係數為( )r x2nx葉善雲台北市東山高中6 數亦優；1 21 2131212122 1211 232011nn nn nnnnnnnnn nnnn nnnababababbbabbabbbabb 當時，餘式的項係數為22kn( )r x1nkx ；1 21 1121112122 1211 121011nn nn nknnnknnknnn nnnn nknknkababababbbabbabbbabb 而餘式的常數項為( )r x。1 21 01012122 1211 0001100nn nn nnnn nnnnabababbabbabbbab 說明 引理中之為下列表達式第一列、第二列與第列所成之三階行列式：k2k ，即，其中且。11212321010000nnnnnnnnababbabbabbab MMM11211210nnknnnnknknkababbabb 11kn10b推論 設（其中）為次多項式函數，則除以其1 110( )nn nnf xa xaxa xa L2n n( )f x導函數的餘式為12 121( )12nn nnfxna xnaxa xa L( )r x，23 122121( )nn nn nr xxxxn a L其中（）為下列表達式第一列與第列所成之二階行列式：k11kn1k 數亦優 7，即，此處表達式之第11221101221nnnnnaanaaanaana MM111nn k n knknaank aka 11kn一行為導函數的係數且第二行為函數係數的變化（第二行第 項是將之( )fx( )f xr( )f x項係數改為） 。n rx n ran rra證明 由上面的引理得除以其導函數的餘式為( )f x( )fx( )r x，23 122121( )nn nnnr xxxx na L其中為三階行列式。k 1111011nnnnnnknkn kanaananaank ank a 11kn而此處可化簡為，於是得餘k111nn knnk n knknaaaank aka 11kn式。23 122121( )nn nn nr xxxxn a L引理引理 2 2：設（其中）為次多項式函數，且除以其導1 110( )nn nnf xa xaxa xa L3n n( )f x函數的餘式為，若為( )fx23 122121( )nn nn nr xxxxn a L121,n L的根，且為的根，則( )0fx10 122,n L( )0r x 。 1 1 1211223423()()()()()()nnnnn nffffffnaLL證明 設且，則12( )( )( )( )( )( )( )( )f xfxq xr xfxr xqxs x 1211 1222( )( )nnn nfxnaxxxr xxxxn a LL8 數亦優 1211211 1 111212111212121 1 112111122212121 1 11112()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnfffrrrn an an aLLLLLLLL 2112122211 1 1221221 1 12234231()()()()()().nnnnnnnnn nnnnnn nfff nan afffnaLLLLL設為三次多項式函數，且為其導函數，則除以32( )f xaxbxcxd( )fx( )f x的餘式為，其中（）為下列表達式第一列與第列所( )fx121 9xa k1,2k 1k 成之二階行列式：，即且。3 22 3ab bc cd 2 132322abbacbc 2393abadbccd 再則，若為二次方程式的根，則, ( )0fx(1) 當時，。10 2 12 3 1( )( )243fffa(2) 當時，。10 2 222 2( )( )9981ffaaa底下，我們將函數值的乘積用行列式的形式表達出來。 引理引理 3 3：設為三次多項式函數，為其導函數，除以的餘32( )f xaxbxcxd( )fx( )f x( )fx式為。若為二次方程式的根，則121 9xa , ( )0fx特例特例數亦優 9。12132301( )( )22430affbac證明 設，就是否為1121( )( )( )9f xfxq xxa 1221( )( )9fxxqxRa 10，分別討論。(1) 當時，由前面的引理 1，得除以的餘式為10 2( )32fxaxbxc121 9xa ；另一方面，由餘式定理知。 1212 1 230120aRbc 21fR 故再由前面的引理 2 及特例，得。 221 112 21333 1 2301( )( )22432432430afffRbaaac(2) 當時，此時，於是10 2 1( )( )( )9f xfxq xa。12 22 2213323011( )( )3292432430affabaaac 配合三次函數的圖形，我們有下面的結論：定理：定理：（三次方程式根的行列式判別）（三次方程式根的行列式判別）設為實係數三次多項式，（）為下列表達式第一列與32( )f xaxbxcxdk1,2k 第列所成之二階行列式：1k ，即且，3 22 3ab bc cd 2 136222abacbbc 2393abadbccd 則我們有下列方程式實根個數的判別：10 數亦優(1)有三個相異實根 。( )0f x 121230200aabc (2)有重根（二或三重根） 。( )0f x 121230200abc (3)有一個實根及兩個虛根 。( )0f x 121230200aabc 證明 ，並設為的根。2( )32fxaxbxc, ( )0fx(1) 由有三個相異實根 ，由前面的引理 3，得( )0f x ( ) ( )0ff有三個相異實根 。( )0f x 121230200aabc (2)、(3) 理由同(1)。底下，我們舉些實例（實係數方程式）來說明上述定理的用法。例題例題 1 1：有三個相異實根 。30xAxB324270AB令，32( )0f xxxAxB2( )30fxxxA由的表達式：，得，k30 02 3A AB 16A 29B 由判別式，得，360 0960 09A BA AB2392740BA故有三個相異實根 。30xAxB324270AB例題例題 2 2：設有三個相異實根，求的範圍。3220xxxkkSolSolSolSol數亦優 11令，32( )2f xxxxk2( )341fxxx由的表達式：，得，k324213k 114 292k 由判別式，得3140 492140 1092k k 。234 14 734 14 72768802727kkk在上面的例題 2 中，函數的臨界點為（並非如教科書舉32( )2f xxxxk27 3 例臨界點為有理數般簡易） ，此時不易計算；另一方面，也27 3f 27 3f 可以透過平移的方法將化成形如例題 1（缺平方項）的形式( )f x，然後利用例題 1 的結果求解。327234( )33327f xxxk例題例題 3 3：設有三個相異實根，求的範圍。32310xxkx k令，32( )31f xxxkx2( )36fxxxk由的表達式：，得，k33 62 3k k 163k 233k 由判別式，得。 2363063363934150033kkkkkkk15 4k 關於底下例題 4，一般的解題步驟如