1第五讲 等比数列 适用学科数学 适用年级高二 适用区域全国本讲时长90 分钟知识点等比数列的概念、 等比数列的通项公式与前n项和公式、等比 数列的常用性质教学目标通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握 比数列的通项公式与前 n 项和公式教学重难点理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前n项和公式 并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题教学过程一、知识讲解本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析考点/易错点 1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起， 等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的 考点/易错点 2通项公式与前n项和公式1项公式： ，1a为首项，q为公比 .22n项和公式：当1q时， 当1q时，.考点/易错点 3等比中项如果bGa,成等比数列，那么G叫做a与b的 .即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列.考点/易错点 4等比数列的判定方法1义法：（Nn，0q是常数）是等比数列； na中项法： (Nn)且 是等比数列. na考点/易错点 5等比数列的常用性质1,在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 naL,32knknknnaaaa为等比数列，公比为 .2,),(Nmnqaamn mn3,若),(Nqpnmqpnm，则 ；4,若等比数列的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是 na数列.二、例题精析（例题的数量根据时间确定）【例题 1】 已知等比数列的某些项，求某项 【题干】 已知为等比数列，162, 262aa，则10a na3【例题 2】 已知前n项和nS及其某项，求项数.【题干】已知nS为等比数列前n项和，93nS，48na，公比2q，则项数 nan .已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37，中间两数之和为36，求这四个数.【例题 3】求等比数列前n项和【题干】已知nS为等比数列前n项和，13233331n naL，求nS na4【例题 4】证明数列是等比数列【题干】已知数列和 nb满足：1a，432 1naann， na)213() 1(nabnn n，其中为实数，Nn. 对任意实数，证明数列不是等比数列； na 试判断数列 nb是否为等比数列，并证明你的结论【例题 5】等比数列的性质【题干】已知nS为等比数列前n项和，54nS，602nS，则nS3 . na【例题 6】等比数列与其它知识的综合【题干】设nS为数列的前n项和，已知21n nnbabS na证明：当2b 时，12nnan是等比数列；求 na的通项公式5注：例题要求：必须有答案、解析，精讲精析，突出方法和过程三、课堂运用【基础】1.设是公比为正数的等比数列，若16, 151aa，则数列前 7 项的和为（ na na）. A63 .B64 .C127 .D1282.设等比数列na的公比2q ， 前 n 项和为nS，则42S a（ ）. A2 .B4 .C215.D2173.已知等比数列na满足122336aaaa，则7a （ ）. A64 .B81 .C128 .D24364.已知等比数列 na的前三项依次为1a，1a，4a，则na （ ）A342nB243nC1342nD1243n5.已知 na是等比数列，41252aa，则13221nnaaaaaaL=（ ）. A)41 (16n .B)21 (16n.C)41 (332n .D)21 (332n【巩固】1.(2009 广雅中学)在等比数列中，已知910(0)aaa a，1920aab，则99100aa . 2.已知为等比数列，6, 3876321aaaaaa，求131211aaa的值. na73.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .4.已知nS为等比数列 na的前n项和，364,243, 362nSaa，则n ；5.已知等比数列中，36)2( , 04624aaaaan，则53aa . na【拔高】1.设nS为数列的前n项和，1aa，13nnnaS，*nN. na 设3nnnbS，求数列 nb的通项公式；8 若)(1Nnaann，求a的取值范围2.(2009 执信中学)等差数列 na中，410a 且3610aaa，成等比数列，求数列 na前20 项的和20S3.(2009 金山中学)已知数列 na的前n项和为nS，1(1)3nnSanN；求1a，2a的值； 证明数列 na是等比数列，并求nS94.(2008 湖北)已知数列 na和 nb满足：1a，432 1naann，)213() 1(nabnn n，其中为实数，Nn. 对任意实数，证明数列不是等比数列； na 证明：当18，数列 nb是等比数列； 设nS为数列 nb的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 12nS？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.课程小结1等比数列的知识要点（可类比等差数列学习）10（1）掌握等比数列定义q（常数） （nN） ，同样是证明一个数列是等比数列的nn aa1依据，也可由 anan2来判断；2 1na（2）等比数列的通项公式为 ana1qn1；（3）对于 G 是 a、b 的等差中项，则 G2ab，G；ab（4）特别要注意等比数列前 n 项和公式应分为 q1 与 q1 两类，当 q1 时，Snna1，当 q1 时，Sn，Sn。qqan 1)1 (1 qqaan 112等比数列的判定方法定义法：对于数列，若，则数列是等比数列； na)0(1qqaann na等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。 na2 12nnnaaa na3等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第nanma项，且，公比为，则有；mnm qmn mnqaa对于等比数列，若，则，也就是： navumnvumnaaaa，如图所示：。LL23121nnnaaaaaa44448444476444344421Lnnaanaannaaaaaa112,12321若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么， nanS*Nk kSkkSS2 成等比数列。kkSS23如下图所示：44444444444844444444444764434421L4434421L444344421LkkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321课后作业【基础】111.(2009 年广东卷文)已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=22 5a，2a=1，则1a= A. 21B. 22C. 2 D.2 2.已知等比数列 na，1231237,8aaaa a a，则na _3.在等比数列 na中，若394,1aa，则6a _ 4.在等比数列 na中，5615160 ,aaa aaab，则2526aa_125.已知数列 na是等比数列，且210,30mmSS，则3mS=_【巩固】1.已知等比数列 na中，21a ，则其前 3 项的和3S的取值范围是 .2.已知nS为等比数列前n项和，0na，80nS，65602nS，前n项中的数值 na最大的项为 54，求100S.3.（2009 浙江理）设等比数列na的公比1 2q ，前n项和为nS，则44S a 134.（2009 全国卷文）设等比数列na的前 n 项和为ns。若3614, 1ssa，则4a= 5.数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，an+1 =3Sn（n 1） ，则 a6=（A）3 44 （B）3 44+1（C）44（D）44+1【拔高】1如图 31，在边长为 l 的等边ABC 中，圆 O1为ABC 的内切圆，圆 O2与圆 O1外 切，且与 AB，BC 相切，圆 On+1与圆 On外切，且与 AB、BC 相切，如此无限继续下去. 记圆 On的面积为 an（nN*） ，证明an是等比数列；2.已知 na等比数列，324202,3aaa，求 na的通项公式。图 3114设等比数列 na的公比为0q q ，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280，且前n 项和中最大项为 27，求数列的第 2n 项。设等比数列 na的公比1q ，前 n 项和为nS，已知3422,5aSS，求 na的通项公式。3.数列na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列 nb为等比数列，且113,1ab，数列 nab是公比为 64 的等比数列，2264b S .（1）求,nna b；（2）求证121113 4nSSSL.154、某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少， 从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价 值为上年初的 75%（I）求第 n 年初 M 的价值na的表达式；（II）设12,n naaaAnL若nA大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新，证明：须在第 9 年初对 M 更新5 （1）设首项为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，前 2n 项和为 6560，且前 n 项 中数值最大的项为 54，求此数列的首项和公比 q。（2）在和之间插入 n 个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的n11n2nn 个数之积。（3）设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍，且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍，问数列lgan的前多少项和最 大？(lg2=0 3,lg3=0.4)16课后评价表：课后评价表： 一 出勤情况 准时（ ） 迟到（ ） 旷课（ ）_二 课上表现情况 优（ ） 良（ ） 差（ ）_