2007 年上海市高中数学竞赛试卷（2007 年 3 月 25 日 星期日 上午 8：3010：30）【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题分一、填空题（本题分 60 分，前分，前 4 小题每小题小题每小题 7 分，后分，后 4 小题每小题小题每小题 8 分）分）1方程的实数解 _2有一条长度为 1 的线段，其端点在边长为 3 的正方形的四边上滑动，当EF绕着正方形的四边滑动一周时，EF的中点所形成的轨迹的长是_3复数数列满足，则它的前 2007 项的和为_4已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面 和的距离分别为和 6，分别是半平面，内的动点，则周长的最小值为_5已知平面直角坐标系中点与点的对应法则 .若一段曲线在对应法则 下对应椭圆的一段弧，则这段曲线的方程是_6已知，计算：_7已知数列满足，则数列 nx的通项公式_8已知圆，过轴上的点存在的割线，使得，则点的横坐标的取值范围是_ 二、解答题二、解答题9（本题满分 14 分）对任意正整数，用表示满足不定方程的正整数对的个数，例如，满足的正整数对有三个，则求出使得的所有正整数 10（本题满分 14 分）已知关于的方程有 3 个正实根，求的最小值11（本题满分 16 分）已知抛物线，是过焦点的弦，如果与轴所成的角为，求BAFxyO12（本题满分 16 分）求满足如下条件的最小正整数，在圆的圆周上任取个点，则在个角中，至少有 2007 个不超过2007 年上海市高中数学竞赛答案一、填空题一、填空题（本题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、二、解答题二、解答题9（本题满分 14 分）对任意正整数n，用 nS表示满足不定方程nyx111 的正整数对yx,的个数，例如，满足2111yx的正整数对有6 , 3,4 , 4,3 , 6三个，则 . 32 S求出使得 2007nS的所有正整数n 解解 由知令，则等于正整数对的个数，从而 nS等于的正约数的个数.（3 分）设，其中为不同质数，且则正约数个数为（6 分）令，则或，或或满足条件的或或或（14 分）（每个答案 2 分，共 8 分）10（本题满分 14 分）已知关于x的方程0462sinsin23xxx有 3 个正实根，求22sin3sin6cos2cos13sin4sin92u 的最大值解解 原方程为.因为原方程有三个正实根，所以关于的二次方程有两个正实根.（3 分）故（6 分）（10 分）当时，等号成立.（14 分）11（本题满分 16 分）已知抛物线022ppxy，AB是过焦点F的弦，如果AB与x轴所成的角为，求AOB解解 以 F 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则抛物线方程为（这里为级角）.作 AM 轴，其中 M、N 为垂足.于是（8 分）又.（12 分）于是.（16 分）【另解】当时，AB 的方程可写为，即.这个结果对也成立.（4 分）将它代入抛物线方程，得FOABxMNPBAFxyOQ（8 分）过 A、B 分别作轴的垂线 AP、BQ.连 AO、BO，则（12 分）（16 分）12（本题满分 16 分）求满足如下条件的最小正整数n，在圆O的圆周上任取n个点nAAA,21 ，则在2 nC个角njiOAAji1中，至少有 2007 个不超过o120解解 首先，当时，如图，设 AB 是O 的直径，在点 A 和 B 的附近分别取 45 个点.此时只有个角不超过 120,所以不满足题意.（4 分）当时，下面证明至少有 2007 个角不超过.对圆周上的 91 个点，若则连.这样就得到一个圆.设圆中条边，当时，圆G中没有三角形.若l=0，则有个角不超过o120，命题得证.（8 分）若l1，不妨设 A1、A2之间有边相连，因为圆中没有三角形，所以对于点，它至多于 A1、A2中的一个有边相连，所以，其中表示从 A 处引出的边数.,而对圆G中每一条边的两个顶点，都有.于是上式对每一条边求和可得（12 分）由柯西不等式，所以ABO所以 91 个顶点中，至少有个点对，它们之间没有边相连，从而对应的顶点所对应的角不超过 120.综上所述，的最小值为 91.（16 分）