第二篇 材料力学 第14章 压杆稳定 v 第14章 压 杆 稳 定 14.1压杆稳定的概念 v 在前面几章中讨论了杆件的强度和刚度问题。在工程实际中，杆件 除了由于强度、刚度不够而不能正常工作外，还有一种破坏形式就 是失稳。什么叫失稳呢？在实际结构中，对于受压的细长直杆，在 轴向压力并不太大的情况下，杆横截面上的应力远小于压缩强度极 限，会突然发生弯曲而丧失其工作能力。因此，细长杆受压时，其 轴线不能维持原有直线形式的平衡状态而突然变弯这一现象称为丧 失稳定，或称失稳。杆件失稳不仅使压杆本身失去了承载能力，而 且对整个结构会因局部构件的失稳而导致整个结构的破坏。因此， 对于轴向受压杆件，除应考虑强度与刚度问题外，还应考虑其稳定 性问题。所谓稳定性指的是平衡状态的稳定性，亦即物体保持其当 前平衡状态的能力。v 如图14.1所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果 是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持 直线形状。当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯 曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于 稳定的平衡状态(如图14.1(a)所示)。当轴向压力达到某一值时， 加干扰力杆件变弯，而撤除干扰力后，杆件在微弯状态下平衡，不 再恢复到原来的直线状态(如图14.1(b)所示)，说明压杆处于不稳 定的平衡状态，或称失稳。当轴向压力继续增加并超过一定值时， 压杆会产生显著的弯曲变形甚至破坏。称这个使杆在微弯状态下平 衡的轴向荷载为临界荷载，简称为临界力，并用 表示。它是压杆 保持直线平衡时能承受的最大压力。对于一个具体的压杆(材料、 尺寸、约束等情况均已确定)来说，临界力 是一个确定的数值。 压杆的临界状态是一种随遇平衡状态，因此，根据杆件所受的实际 压力是小于、大于该压杆的临界力，就能判定该压杆所处的平衡状 态是稳定的还是不稳定的。图14.1 压杆的稳定性v 工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆， 自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 v 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界力。如果将压杆的工作压力 控制在由临界力所确定的许用范围内，则压杆不致失稳。下面研究 如何确定压杆的临界力。14.2 理想压杆临界力的计算v 14.2 理想压杆临界力的计算 v 所谓理想压杆指的是中心受压直杆。因为对于实际的压杆，导致其 弯曲的因素有很多，比如，压杆材料本身存在的不均匀性，压杆在 制造时其轴线不可避免地会存在初曲率，作用在压杆上外力的合力 作用线也不可能毫无偏差地与杆轴线相重合等。这些因素都可能使 压杆在外力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形 。但在对压杆的承载能力进行理论研究时，通常将压杆抽象为由均 质材料制成的中心受压直杆的力学模型，即理想压杆。因此“失稳” 临界力的概念都是针对这一力学模型而言的。 v 14.2.1 两端铰支细长压杆的临界力v 现以两端铰支，长度为 的等截面细长中心受压(如图14.2(a)所 示)为例，推导其临界力的计算公式。假设压杆在临界力作用下轴 线呈微弯状态维持平衡 (如图14.2(b)。 此时，压杆任意 x截面沿 y方向的 挠度为 该截面上的弯矩为v 图14.2 两端铰支的压杆v (a) v 弯矩的正、负号按第11章中的规定，挠度 以沿y 轴正值方向为 正。 v 将弯矩方程 代入式(14-1b)，可得挠曲线的近似微分方程 为 v (b) v 其中， I为压杆横截面的最小形心主惯性矩。 v 将上式两端均除以 EI，并令 v (c) v 则式(b)可写成如下形式v (d) v 式(d)为二阶常系数线性微分方程，其通解为 v (e) v 式中 A、 B 和 K三个待定常数可用挠曲线的边界条件确定。 v 边界条件： v 当 时x=0， w=0，代入式(e)，得 。式(e)为 v (f) v 当 时x=l， w=0 ，代入式(f)，得 v (g) v 满足式(g)的条件是 A=0，或者 。若 A=0 ，由式 (f)可见 w=0 ，与题意(轴线呈微弯状态)不符。因此，只有v (h) v ( ) v 其最小非零解是 n=1的解 (i) v 即得 v （14-1) v 式(14-1)即两端铰支等截面细长中心受压直杆临界力 的计算公 式。由于式(14-1)最早是由欧拉( L.Enlen)导出的，所以称为欧 拉公式。 v 将式(i)代入式(f)得 v (j)v 将边界条件 ， ( 为挠曲线中点挠度)代入式(j)，v 得 v v 将上式代入式(j)可得挠曲线方程为 v v (k) v 即挠曲线为半波正弦曲线。14.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的 临界力v 14.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力 v 如图14.3所示，一下端固定、上端自由并在自 由端受轴向压力作用的等直细长压杆。杆长为 l， 在临界力作用下，杆失稳时假定可能在xy 平面内 维持微弯状态下的平衡，其弯曲刚度为 EI， 现推导其临界力。v 图14.3 一端固定，一端自由的压杆v 根据杆端约束情况，杆在临界力 作用下的挠曲线形状如图14.3 所示，最大挠度 发生在杆的自由端。由临界力引起的杆任意 x 截面上的弯矩为 v (a) v 式中， w为 x截面处杆的挠度。将式(a)代入杆的挠曲线近似微分 方程，即得 v (b) v 上v 式两端均除以 EI，并令 ，经整理得 v v (c)上式为二阶常系数非齐次微分方程，其通解为 v (d) v 其一阶导数为 v (e) v 上式中的 A、 B、 K可由挠曲线的边界条件确定。v 当 x=0时,w=0， 有 。 v 当 x=0时,w=0 ，有 A=0。 v 将 A、B 值代入式(d)得 v (f) v 再将边界条件 ， 代入式(f)，即得 v (g) v 由此得 v (h) v 从而得 v (i)v 其最小非零解为 n=1 的解，即 。于是该压杆临界力 的 欧拉公式为 v (9-2) v 将 代入式(f)，即得此压杆的挠曲线方程为 v v 式中， 为杆自由端的微小挠度，其值不定。14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力v 14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力 v 如图14.4(a)所示，两端固定的压杆，当轴向力达到临界力 时 ，杆处于微弯平衡状态。由于对称性，可设杆两端的约束力偶矩均 为 M，则杆的受力情况如图14.4(a)所示。将杆从 x截面截开， 并考虑下半部分的静力平衡(如图14.4(b)所示)，可得到 x截面 处的弯矩为 v (a) v 代入挠曲线近似微分方程，得 v (b)v 图14.4 两端固定的压杆 两边