2011201120112011高考数学压轴题专题训练高考数学压轴题专题训练- - - -数列（数列（36363636 页页 WORDWORDWORDWORD）第六章第六章数列数列2009200920092009 年高考题年高考题三、解答题22.（2009 全国卷理）在数列 na中，11111,(1)2nnnnaaan+=+（I）设n nabn=，求数列 nb的通项公式（II）求数列na的前n项和nS分析分析： （I）由已知有11 12nn naa nn+=+11 2nnnbb+=利用累差迭加即可求出数列 nb的通项公式:1122nnb=(*nN)（II）由（I）知122nnnan=,nS=1 1(2)2nk kkk =1 11(2 )2nnk kkkk =而1(2 )(1)nkkn n=+,又1 12nk kk =是一个典型的错位相减法模型，易得11 12422nkn kkn =+=nS=(1)n n+1242nn+评析评析：09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。23.（2009 北京理）已知数集()1212,1,2nnAa aaaaa n=，故nna aA.从而1nnaAa=，11a=.121naaa=，故()2,3,kna aA kn=.由 A 具有性质 P 可知()1,2,3,nkaA kna=.又121nnnnnnaaaa aaaa=，34a aA，由 A 具有性质 P 可知43aAa.2 243a aa=，得3423aaAaa=，且3 2 21aaa.【解析】 必做题必做题 本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分 10 分。26.（2009 山东卷理)等比数列na的前 n 项和为nS， 已知对任意的nN+，点( ,)nn S，均在函数(0xybr b=+且1, ,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值；（11）当 b=2 时，记22(log1)()nnbanN+=+证明：对任意的nN+，不等式12121111nnbbbnbbb+成立解:因为对任意的nN+,点( ,)nn S，均在函数(0xybr b=+且1, ,bb r均为常数的图像上.所以得n nSbr=+,当1n=时,11aSbr=+,当2n时,111 1()(1)nnnnn nnnaSSbrbrbbbb =+=,又因为na为等比数列,所以1r= ,公比为b,1(1)n nabb=（2）当 b=2 时，11(1)2nn nabb=,1 222(log1)2(log 21)2n nnban=+=+=则121 2nnbn bn+=,所以12121113 5 7212 4 62nnbbbn bbbn+=下面用数学归纳法证明不等式12121113 5 72112 4 62nnbbbnnbbbn+=+成立.1当1n=时,左边=3 2,右边=2,因为322,所以不等式成立.2假设当nk=时不等式成立,即12121113 5 72112 4 62kkbbbkkbbbk+=+成立.则当1nk=+时,左边=11212111113 5 721 232 4 6222kkkkbbbbkk bbbbkk+=+2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk+ =+ +所以当1nk=+时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知nS求na的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.27. （2009 广 东卷 理）知曲线22:20(1,2,)nCxnxyn+=从点( 1,0)P向曲线nC引斜率为(0)nnkk的切线nl，切点为(,)nnnP xy（1）求数列 nnxy与的通项公式；（2）证明：1352112sin1nn n nnxxxxxxxy，求1a的取值范围.解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分 13 分。解： （I）已知1a是奇数，假设21kam=是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得213(1) 14k kaam m+=+是奇数。根据数学归纳法，对任何nN+，na都是奇数。（II） （方法一）由11(1)(3)4nnnnaaaa+=知，1nnaa+当且仅当1na。另一方面，若01,ka，则21333.4ka+=根据数学归纳法，1101,01,;33,.nnaanNaanN+ 综合所述，对一切nN+都有1nnaa+的充要条件是101a。（方法二）由2 1 213,4aaa+=得2 11430,aa+于是101a。22 111 133()(),444nnnnnn nnaaaaaaaa +=因为21130,4n naaa+=所以所有的na均大于 0，因此1nnaa+与1nnaa同号。根据数学归纳法，nN+ ，1nnaa+与21aa同号。因此，对一切nN+都有1nnaa+的充要条件是101a。29. （2009 江西卷理） 各项均为正数的数列na，12,aa ab=， 且对满足mnpq+=+的正整数, , ,m n p q都有.(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaa aaaa+=+（1）当14,25ab=时，求通项;na（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数，使得对于每个正整数n，都有1.na解： （1）由(1)(1)(1)(1)pqmnmnpqaaaa aaaa+=+得121121.(1)(1)(1)(1)nnnnaaaa aaaa+=+将1214,25aa=代入化简得1121. 2n n naaa+=+所以11111,13 1nnnnaa aa=+故数列11nna a +为等比数列，从而11,13n n na a=+即31. 31nnna=+可验证，31 31nnna=+满足题设条件.(2) 由题设(1)(1)mnmnaa aa+ +的值仅与mn+有关,记为,m nb+则1 1 1.(1)(1)(1)(1)nn n nnaaaabaaaa+=+考察函数( )(0)(1)(1)axf xxax+=+,则在定义域上有1,11 1( )( ),12,011aaf xg aaaaa+= +时，证明如下：证法 1： （1）当 n=3 时，由上验算显示成立。（2）假设1nk=+时122 22(21)422(1) 1(21)2(1) 1kkkkkkk+=+=+=+ +g所以当1nk=+时猜想也成立综合（1） （2）可知 ，对一切3n的正整数，都有221.nn+证法 2：当3n时01210112(1 1)2221nnnnnn nnnnnnnnnCCCCCCCCCnn=+=+=+K综上所述，当1,2n=时5 21nnTn+31.（2009 四川卷文）设数列na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS=+成立，记*4()1n n nabnNa+=。（I）求数列na与数列 nb的通项公式；（II） 设数列 nb的前n项和为nR， 是否存在正整数k， 使得4nRk成立？若存在， 找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；（III）记* 221()nnncbbnN=，设数列 nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有3 2nT猜想：数列2nx是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当 n=1 时，已证命题成立（2）假设当 n=k 时命题成立，即222kkxx+易知20kx，那么2321 2224 2123212311 11(1)(1)kk kk kkkkxxxxxxxx+ + +=+=22222122230(1)(1)(1)(1)kkkkkkxx xxxx+即2(1)2(1) 2kkxx+也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当 n=1 时，1211 6nnxxxx+=，结论成立当2n时，易知11 11101,12,12nnn nxxxx +111 115(1)(1)(1)(1)212nnnn nxxxxx +=+=+1 1 1111 11(1)(1)nn nn nnnnxxxxxxxx + =+2n-1 11221n-1222 555 1 2 6 5nnnnxxxxxx=（ ）（ ）（ ）34.（2009 四川卷文）设数列na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS=+成立，记*4()1n n nabnNa+=（I）求数列na与数列 nb的通项公式；（II） 设数列 nb的前n项和为nR， 是否存在正整数k， 使得4nRk成立？若存在， 找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；（III）记* 221()nnncbbnN=，设数列 nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有3 2nT1） 。设ns=1 1ab+22a b.+nna b,nT=1 1ab-22a b+.+(-11)nnna b,nN+(I)若1a=1b= 1，d=2，q=3，求3S的值；(II)若1b=1，证明（1-q）2nS-（1+q）2nT=222(1) 1ndqq q ，nN+；()若正数 n 满足 2nq，设1212,., ,.,12.nnk kkl ll和是，n的两个不同的排列，12112.nkkknca ba ba b=+，12212.nlllnca ba ba b=+证明12cc。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分 14 分。（）解：由题设，可得1*21,3,n nnanbnN=所以，31 122331 13 35 955Saba ba b=+= + + =（）证明：由题设可得1n nbq=则221 21232.,n nnSaa qa qa q=+2321 212342321 22242.,2(.)n nnn nnnTaa qa qa qa qSTa qa qa q=+=+1式减去式，得1式加上式，得222 2213212(.)n nnnSTaa qaq +=+2式两边同乘 q，得321 221321()2(.)n nnnq STa qa qaq +=+所以，222222(1)(1)()()nnnnnnq Sq TSTq ST+=+3212 * 22 ()2(1),1nnd qqqdqqnNq=+=K()证明： 11221212()()() nnklkl