2.平面应力状态主应力的计算公式1. 斜面上应力公式：复习最大最小主应力最大最小剪应力3. 几何方程刚体位移形变和位移之间的关系：位移确定，形变完全确定；形变确定，位移不完全确定。 4. 物理方程平面应力问题平面应变问题2-6 边界条件边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系， 是力学计算模型建立的重要环节。边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。边界分类： （1）位移边界 三类边界1. 位移边界条件位移分量已知的边界 位移边界。 平面问题的位移边界条件说明：当u = v = 0时, 称为固定位移边界。（2）应力边界（3）混合边界用 表示边界上的位移分量，u , v 表示弹性体位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：(a)位移边界条件的说明： 它是函数方程，要求在 上每一点s，弹性体位移与对应的约束位移相等。 若为简单的固定边，u = v = 0,则有（在 上）。 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。(b)设在 上给定面力分量2. 应力边界条件在2-3中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合 ，则得应力边界条件：（在 上）(c)(d)此式表示了弹性体边界上内力于外力之间的平衡关系。应力边界条件的说明 ： 它是边界上微分体的静力平衡条件； 它是函数方程，要求在边界上每 一点s上均满足，这是精确的条件； 式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界s上成立； 式（d）中，x , y ,xy 按应力符号规定，f x 、f y 按面力符号规定； 位移、应力边界条件均为每个边界两个，分别表示 x 、y 方向的条件； 所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）f x = f y = 0, 也必须满足。(e)当边界面为坐标面时，若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为( f )应力边界条件的两种表达式： 在边界点取出微分体，考虑其平衡条件，得出应力边界条件； 在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相等，方向一致）。即在同一边界面上, 应力数值应等于面力数值(给定 ),应力方向应同面力方向。例 如：在斜面上，在 坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故表达式有区别 。平行于边界面的正应力，它的边界值与面力分量并不直接相关。例 1 列出边界条件：y例2 列出边界条件：3. 混合边界条件 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件； 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。例3列出x = a 的边界条件：x = a,(u ) x = a = 0, ( xy ) x = a = 0.思考题：试写出如下几个问题的边界条件。1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q 作用，试列出应力边界条件，(思考题图中（a）)。2、证明在无面力作用的0A边上，y不等于零（思考题图中 (b)）。3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零 （思考题图中 (c)）。4、试导出在无面力作用时，AB边界上的x , y ,xy 之间的关系。（思考题图中（d）。5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同 。2-7 圣维南原理及其应用弹力问题是微分方程的边值问题。应力 、位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。1. 静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。2. 圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。圣维南原理的说明：1、圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；2、静力等效 指两者主矢量相同，对同一点 主矩也相同；3、近处 指面力变换范围的一、二倍的局部区域；4、远处 指“近处 ”之外。例1比较下列问题的应力解答：圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响 。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零）， 那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。例2比较下列问题的应力解答：3. 圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。圣维南原理在小边界上的应用：如图，考虑 x = l 小边界 ， 精确的应力边界条件(a)在同一边界 x = l上，上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。 圣维南原理的应用积分的应力边界条件在小边界 x=l上，用下列条件代替式 (a)的条件：在同一边界 x=l 上，应力的主矢量( Fx , Fy ) =数值相等方向一致(b)面力的主矢量（给定)应力的主矩( M) =面力的主矩（给定）具体列出三个积分的条件：右端面力的主矢量、主矩的数值及方向，均已给定；右端应力的主矢量、主矩的数值及方向应与右端面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。(c)即：应力的主矢量、主矩的数值=面力的主矢量、主矩的数值；应力的主矢量、主矩的方向=面力的主矢量、主矩的方向。式中，应力主矢量、主矩的正方向的正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向为，即（正应力）（正的矩臂）的方向。讨论：1.如果只给出面力的主矢量、主矩如图，则式(c) 右边直接代入面力的主矢量、主矩；2.在负x 面，x = l ，由于应力、面力的符号规定不同，应在式(c)中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。比较： 精确的应力边界条件 积分的应力边界条件方程个数23方程性质函数方程（难满足 ）代数方程（易满足 ）精确性精确近似适用边界大、小边界小边界思考题1、为什么在大边界（主要边界）上，不能应用圣维南原理？2、试列出负x 面上积分的应力边界条件， 设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。