能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。 3.1 概述可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将作功。对于弹性体，外力在相应位移上作的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能。U = W1，线弹性条件下，通过外力功求应变能3-2 应变能.余能常力作功：常力 P 沿其方向线位移 上所作的功 一，应变能变力作功：在线弹性范围内，外力 P 与位移 间呈线性关系。 (静荷载为变力）轴向拉（压）杆外力作功PoPP基本变形在弹性范围内变形量与外力(内力)均呈线性关系弯曲扭 转轴向拉，压 （N为轴力）（ 为相对扭转角，T 为扭矩）（ 为转角，M 为弯矩）由 U = W , 可得以下变形能表达式（2）扭转杆内的变形能（1）轴向拉压杆内的变形能UU（3）弯曲梁内的变形能（略去剪力的影响）（4）组合变形的变形能P2、非线性弹性体，通过 比能 求应变能Po 1P1拉杆的材料是非线性弹性体，当外力由 0 逐渐增大到 P1 时，杆端位移就由 0 逐渐增到 1 。外力作功为dPPPo 1P1从拉杆中取出一个各边为 单位长 的单元体， l = 1 = 作用在单元体上，下两表面的力为P = 1 1 = 其伸长量ppP11该单元体上外力作功为 l = P = pp单位体积的应变能即 比能 为pp 11若取单元体的边长为 dx 、dy、dz，则该单元体的应变能为dU = u dx dy dz令 dx dy dz = dV则整个拉杆内的应变能为拉杆整个体积内各点的 u为常量，故有扭转杆 拉压杆 在 线弹性线弹性 范围内例 题： 水平杆系如图所示 ，两杆的长度均为 l,横截面面积为A，弹性模量为E，且均为线弹性。试计算在P1作用下的应变能。lla1Aa1P1解：外力作用下，两杆件伸长，沿 P1 方向下移，则lla1Aa1P1？由 A点平衡得 lla1Aa1P1NNPlla1Aa1P1NNP略去高阶微量lla1Aa1P1NNPP 与 成非线性关系该问题属于几何非线性弹性问题该问题属于几何非线性弹性问题由于 P 与的非线性关系,求能量需用积分。二. 余能1、非线性弹性非线性弹性 材料（拉杆）P余功公式=矩形面积+PdPPdP余能公式单位体积的余能2、线弹性材料的几何线性问题dPP