第四章第四章 超静定结构的解法超静定结构的解法Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures4-1 4-1 求解超静定问题的一般方法求解超静定问题的一般方法 4-2 4-2 力法力法 4-3 4-3 力法计算的简化力法计算的简化 4-4 4-4 位移法位移法 4-5 4-5 混合法混合法和和弯矩分配法弯矩分配法 4-6 4-6 超静定结构特性超静定结构特性 4-7 4-7 结论与讨论结论与讨论遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分析超 静定问题的思想，可有不同的出发点：以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础 上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种 分析方法称为力法（force method）。 以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件 的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题， 这种分析方法称为位移法（displacement method） 。 如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知 量，力的部分考虑位移协调，位移的部分考虑力的 平衡，这样一种分析方案称为混合法（mixture method）。 在本章中将主要介绍力法和位移法在本章中将主要介绍力法和位移法( (含弯矩分配法含弯矩分配法) )。1. 1. 力法的基本原理力法的基本原理(Fundamentals of the Force Method)有一个多于约束 的超静定结构， 有四个反力，只 有三个方程。只要满足为任意值，均平衡。因此必须设法补充方程因此必须设法补充方程力法的基本思路力法的基本思路超静定计算简图解除约束转 化成静定的基本结构承受荷 载和多余未知力基本体系受力、变形解法已知基本体系受力、变形解法已知力法的基本思路力法的基本思路用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形同样方法分析“ 荷载”下的受力 、变形位移包含基本未知力位移包含基本未知力X Xi i为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件由此可解得基本未知力，从 而解决受力变形分析问题基本原理举例基本原理举例例1. 求解图示单跨梁原结构待解的未知问题AB基本结构已掌握受力、变形primary structure or fundamental structure基本体系fundamental system or primary system转化转化变形协调条件 力法典型方程 (The Compatibility Equation of Force Method )未知力的位移“荷载”的位移总位移等于已知位移以掌握的问题消除两者差别叠加作弯矩图或 系数求法系数求法单位弯矩图单位弯矩图 荷载弯矩图荷载弯矩图 位移系数自乘系数和未知力等于多少？系数和未知力等于多少？ 广义荷载位移互乘例 2. 求解图示结构原 结 构FP基 本 体 系 一FP解法解法1:1:有两个多于约束有两个多于约束解除约束代以未知力解除约束代以未知力基 本 未 知 力PFP或或基本未知力引起的位移基本未知力引起的位移荷载引起的位移荷载引起的位移 变形协调条件 力法典型方程FPFPa作单位和荷载弯矩图作单位和荷载弯矩图求系数、建立力法方程并求解求系数、建立力法方程并求解仅与刚仅与刚 度相对度相对 值有关值有关FPFPaFP（Fpa）由叠加原理求得由叠加原理求得力法基本思路小结力法基本思路小结根据结构组成分析，正确判断多于约束个根据结构组成分析，正确判断多于约束个 数数超静定次数超静定次数。解除多余约束，转化为静定的解除多余约束，转化为静定的基本结构基本结构。 多余约束代以多余未知力多余约束代以多余未知力基本未知力基本未知力。分析基本结构在单位基本未知力和外界因分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立素作用下的位移，建立位移协调条件位移协调条件力力 法典型方程法典型方程。从典型方程解得基本未知力，由从典型方程解得基本未知力，由叠加原理叠加原理 获得结构内力。获得结构内力。超静定结构分析通过转化为超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。静定结构获得了解决。将未知问题转化为将未知问题转化为 已知问题，通过消除已已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别，知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。使未知问题得以解决。 这是科学研究的这是科学研究的 基本方法之一。基本方法之一。由于从超静定转化为静定，将什么由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。力法求解的基本结构也不是唯一的。解法 2：原原 结结 构构基基 本本 体体 系系FPFP解法3：原原 结结 构构基基 本本 体体 系系FPFP原原 结结 构构FP基基 本本 体体 系系FPM1图M2图FPaFPMP图单位和荷载弯矩图单位和荷载弯矩图M1图M2图FPaFPMP图由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图由单位和荷载弯矩图可勾画出基本体系变形图FPM1图M2图FPaFPMP图由单位和荷载由单位和荷载 M M 图可求得位移系数、建立方程图可求得位移系数、建立方程FP（Fpa）原原 结结 构构FP基基 本本 体体 系系FP图图FPaFP图单位和荷载弯矩图单位和荷载弯矩图能否取基本体系为能否取基本体系为FP小结：力法的解题步骤问题：问题：超静定次数 = 基本未知力的个数 = 多余约束数= 变成基本结构所需解除的约束数( ( ) )(1) (1) 确定结构的超静定次数和基本结构确定结构的超静定次数和基本结构( (体系体系) )（3 次）或（14 次）或或(1 次）(6 次)(4 次)(b) (b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本一个超静定结构可能有多种形式的基本 结构，不同基本结构带来不同的计算工作量结构，不同基本结构带来不同的计算工作量 。因此，要选取工作量较少的基本结构。因此，要选取工作量较少的基本结构。确定超静定次数时应注意：确定超静定次数时应注意：(c) (c) 可变体系不能作为基本结构可变体系不能作为基本结构(a) (a) 切断弯曲杆次数切断弯曲杆次数3 3、链杆、链杆1 1，刚结变单铰，刚结变单铰1 1， 拆开单铰拆开单铰2 2。总次数也可由。总次数也可由计算自由度计算自由度得到。得到。(2) (2) 建立力法典型方程建立力法典型方程或写作矩阵方程或写作矩阵方程(3) (3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图有）作用下的弯矩（内力）图(4) (4) 求基本结构的位移系数求基本结构的位移系数 (5) (5) 求求基本结构的基本结构的广广义荷载义荷载位移位移注意注意 ：用图乘法求用图乘法求 和和 时应注意图乘条件时应注意图乘条件(6)(6) 解方程求未知力解方程求未知力图乘来求图乘来求(7)(7)根据叠加原理作超静定结构根据叠加原理作超静定结构的的内力图内力图(8) (8) 任任取取一基本结构，求超静定结构一基本结构，求超静定结构的位移的位移例如求 K 截面竖向 位移：FP（Fpa）KFP（Fpa）K（9 9）对计算结果进行校核）对计算结果进行校核对结构上的任一部分，其 力的平衡条件均能满足。如：问题：使结构上的任一部分都处于平问题：使结构上的任一部分都处于平 衡衡的解答是否就是问题的正确解？的解答是否就是问题的正确解？FP（Fpa）原 结 构FP基 本 体 系FP假如：假如：由由可证：平衡条件均能满足。可证：平衡条件均能满足。求得：求得：( ( ) )但：但：FPFPaM 图结论：结论：对计算结果除需进行力的校核外，对计算结果除需进行力的校核外，还必需进行位移的校核。还必需进行位移的校核。链链 举举 例例FP（Fpa）2. 2. 力法解超静定力法解超静定结构结构举例举例例 1. 求解图示两端固支梁。解：取简支梁为基本体系力法典型方程为：力法典型方程为：FP基 本 体 系FP单位和荷载弯矩图单位和荷载弯矩图 为：为：EI由于所以又由于于是有图FP两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力典型方程改写为图乘求得位移系数为代入并求解代入并求解 可得可得FPab lFPa2b l2FPab2 l2其中：解得：（拉）解：基 本 体 系FPFP力法典型方程为：例 2. 求超静定桁架的内力 。 FPFP=PFP=PFPFNP 图EA为常数各杆最后内力由 叠加法得到：由计算知，由计算知，在在荷载作用下，超静定桁架的内力与杆荷载作用下，超静定桁架的内力与杆 件的绝对刚度件的绝对刚度EAEA无关，只与各杆刚度比值有关。无关，只与各杆刚度比值有关。基 本 体 系FPFP问题：问题：若若用拆除用拆除上上 弦弦杆的静定结构作杆的静定结构作 为基本结构，为基本结构，本本题题 应如何考虑？应如何考虑？FP=PFP解：力法方程力法方程的实质的实质为为：“ 3、4两结点 的相对位移 等于所拆除杆的拉（ 压）变形 ”FPFPFP=PFPFNP 图自乘求11互乘求1P或互乘求11X1令：有：（拉）基 本 体 系解：典型方程：最终解得：例 3. 求作图示连续梁的弯矩图。M图由 作出： (c)当当取基本体系，？EI解：取基本体系如图(b)典型方程：如图示：例 4. 求解图示加劲梁。 横梁55当内力有无下部链杆时梁内有无下部链杆时梁内 最大弯矩之比：最大弯矩之比：梁的受力与两跨 连续梁相同。 （同例3中 ）当梁受力有利令梁内正、负弯矩令梁内正、负弯矩 值相等可得：值相等可得：46.82-46.8252.3552.351.66m13.713.7 如何求如何求 A A ？方程的物理意义是否明确？方程的物理意义是否明确？例 5. 求解图示刚架由 于支座移动所产生的 内力。 解：取图示基本结构 力法典型方程为：其中 为由于支座移动所产生的位移 ,即EI 常 数最后内力（M图）： 这时结构中的位移以及位移条件的校核公式如何？支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度支座移动引起的内力与各杆的绝对刚度 EIEI 有关有关 吗？吗？单位基本未知力引起的弯矩图和反力1、2、3等于多少？ 问题：如何建立如下基本结构的典型方程？基本体系2基本体系3基本体系2基本体系3b a用几 何法 与公 式法 相对 比。FPABEI试求图示两端固定单跨梁在下属情况试求图示两端固定单跨梁在下属情况 下的下的MM图。图。 (a) (a) A A端逆时针转动单位转角。端逆时针转动单位转角。 (b) (b) A A端端竖向向上移动了单位位移。竖向向上移动了单位位移。 (c) (c) A A、B B两端均逆时针转动单位转角。两端均逆时针转动单位转角。 (d) (d) A A、B B两端相对转动单位转角。两端相对转动单位转角。 (e) (e) A A端竖向向上、端竖向向上、B B端竖向向下移动了单端竖向向下移动了单 位位移。位位移。解：选取基本体系 建立典型方程基本体系二例 6. 求作弯矩图(同例3) 。EI常数(c)(下侧 受拉)弯矩图为： 进一步求D点竖向位移解：取基本体系如图(b)典型方程为：例 7. 求图示刚架由于温度变 化引起的内力与K点的 。温度变化引起的结构位移与内力的计算公式 为：(a)外侧t1内侧t2EI 常 数t1=250C t2=350C设刚架杆件截面对称于形心轴，其高温度改变