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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)注意事项: 1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上 2回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号写在本试卷上无效 3回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效 4考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的1为正实数, 为虚数单位,则ai2 iiaaA2 B C D1322已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若,则INMINM UAM BN CI D3已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,则线段 AB 的中=3AFBF点到 y 轴的距离为A B1 C D3 45 47 44ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asinAsinB+bcos2A=,则a2abA B C D2 32 2325从 1,2,3,4,5 中任取 2 各不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和 为偶数” ,事件 B=“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(BA)=A B 1 81 4C D2 51 2 6执行右面的程序框图,如果输入的 n 是 4,则输出的 P 是 A8 B5 C3 D27设 sin,则1+=43()sin2A B C D7 91 91 97 9 8如图,四棱锥 SABCD 的底面为正方形,SD底面 ABCD, 则下列结论中不正确的是 AACSB BAB平面 SCD CSA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 DAB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角9设函数,则满足的 x 的取值范围是 1,log11,2)(21xxxxfx 2)(xfA,2 B0,2 C1,+ D0,+110若, 均为单位向量,且,则的最大值为abc0ba0)()(cbca|cbaA B1 C D212 211函数的定义域为,对任意,则的解集为)(xfR2) 1(fRx2)( xf42)( xxfA (,1) B (,+) C (,)D (,+)11112已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=,则棱锥3o30BSCASCSABC 的体积为A B CD133323第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答第 22 题-第 24 题为选考题,考生根据要求做答 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分13已知点(2,3)在双曲线 C:上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 )0, 0( 12222 baby ax 14调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元) ,调查显示 年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均增321. 0254. 0xy加_万元15一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为,它的三视图中的俯32视图如右图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是 16已知函数=Atan(x+) () ,y=)(xf2| , 0)(xf的部分图像如下图,则 )24(f三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤 17 (本小题满分 12 分) 已知等差数列an满足 a2=0,a6+a8=-10(I)求数列an的通项公式;(II)求数列的前 n 项和 12nna18 (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD平面 ABCD,PDQA,QA=AB=PD1 2(I)证明:平面 PQC平面 DCQ;(II)求二面角 QBPC 的余弦值19 (本小题满分 12 分) 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙) 进行田间试验选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中,随机选 n 小 块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙(I)假设 n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X,求 X 的分布列和数学 期望;(II)试验时每大块地分成 8 小块,即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的 每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该 种植哪一品种?附:样本数据的的样本方差,其中nxxx,21 )()()(122 22 12xxxxxxnsn 为样本平均数x20 (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C1的中心在原点 O,长轴左、右端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2的短轴 为 MN,且 C1,C2的离心率都为 e,直线 lMN,l 与 C1交于两点,与 C2交于两点,这四点 按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D(I)设,求与的比值;1 2e BCAD(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BOAN,并说明理由21 (本小题满分 12 分)已知函数xaaxxxf)2(ln)(2(I)讨论的单调性;)(xf(II)设,证明:当时,;0aax10)1()1(xafxaf(III)若函数的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明:)(xfy (x0)0f 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分做答是 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED(I)证明:CD/AB;(II)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆23 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(为参数) ,曲线 C2的参 sincos yx数方程为(,为参数) ,在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐 sincos byax0ba标系中,射线 l:=与 C1,C2各有一个交点当=0 时,这两个交点间的距离为 2,当=时,这两个交点重合2(I)分别说明 C1,C2是什么曲线,并求出 a 与 b 的值;(II)设当=时,l 与 C1,C2的交点分别为 A1,B1,当=时,l 与 C1,C2的交点为44A2,B2,求四边形 A1A2B2B1的面积 24 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数=|x-2|x-5|)(xf|(I)证明:3;3)(xf(II)求不等式x2x+15 的解集)(xf8参考答案评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4只给整数分数,选择题不给中间分. 一、选择题15 BACDB 610 CADDB 1112 BC 二、填空题 132 140.254152 3163三、解答题 17解:(I)设等差数列的公差为 d,由已知条件可得na110,21210,adad 解得11,1.ad 故数列的通项公式为 5 分na2.nan(II)设数列,即,12n nnanS的前项和为2 111,122n nnaaSaSL故12.2242nn nSaaaL所以,当时,1n 121 11112222 11121()2422 121(1)22nnnn nnnnnnSaaaaaann LL.2nn所以1.2nnnS综上,数列 12 分11.22n nnnannS的前项和18解: 如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐 标系 Dxyz.(I)依题意有 Q(1,1,0) ,C(0,0,1) ,P(0,2,0).则(1,1,0),(0,0,1),(1, 1,0).DQDCPQuuu ruuu ruuu r所以0,0.PQ DQPQ DCuuu r uuu ruuu r uuu r即 PQDQ,PQDC. 故 PQ平面 DCQ. 又 PQ平面 PQC,所以平面 PQC平面 DCQ. 6 分(II)依题意有 B(1,0,1) ,(1,0,0),( 1,2, 1).CBBP uu u ruu u r设是平面 PBC 的法向量,则( , , )nx y z0,0, 20.0,n CBx xyzn BP uu u ruu u r即因此可取(0, 1, 2).n 设 m 是平面 PBQ 的法向量,则0,0.m BPm PQuu u ruuu r可取15(1,1,1).cos,.5mm n 所以故二面角 QBPC 的余弦值为 12 分15.519解:(I)X 可能的取值为 0,1,2,3,4,且4 813 44 4 822 44 4 831 44 4 84 811(0),708(1),3518(2),358(3),3511(4).70P XCC CP XCC CP XCC CP XCP XC即 X 的分布列为4 分 X 的数学期望为6 分181881()012342.7035353570E X (II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:222222221(403397390404388400412406)400,8 1(3( 3)( 10)4( 12)0126 )57.25.8xS 甲甲8 分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:2222222221(419403412418408423400413)412,8 1(7( 9)06( 4)11( 12)1 )56.8xS 乙乙
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