第十一节 变化率与导数、导数的计算 强化训练1.若曲线在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( ) 2yxaxbA.a=1,b=1B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1 答案:A 解析:y=2x+a, 曲线在(0,b)处的切线方程斜率为 a, 2yxaxb切线方程为 y-b=ax, 即 ax-y+b=0. a=1,b=1. 2.若满足 f (1)=2,则 f (-1)等于( ) 42( )f xaxbxcA.-4B.-2 C.2D.4 答案:B 解析:求导后导函数为奇函数,所以选择 B. 3.某市在一次降雨过程中,降雨量 y(mm)与时间 t(min)的函数关系可近似地表示为则在时刻 t=40 min 的降雨强度为( ) ( )10yf ttA.20 mm/minB.400 mm/min C. mm/minD. mm/min 1 21 4答案:D 解析:f f 选 D. 51( )102 1010ttt51(40)44004.f (x)是的导函数,则 f (-1)的值是 . 31( )213f xxx答案:3 解析:f 故 f (-1)=3. 2( )2xx 5.函数 y=xcosx 在处的导数值是 . 3x答案: 31 26解析:y=cosx-xsinx,当时,y. 3x31 266.已知函数 f(x)=ln为常数),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,且 l 与函数21( )(2x g xxa af(x)、g(x)图象的切点的横坐标为 1,求直线 l 的方程及 a 的值. 解:由 f (x)|故直线 l 的斜率为 1,切点为(1,f(1),即(1,0), 11x l:y=x-1. 又g(x)=x=1, 切点为. 1(1)2al: 1()12yax 即. 1 2yxa比较和的系数得 112a . 1 2a 见课后作业 B 题组一 导数的概念和计算1.设 f(x)=xlnx,若 f 则等于( ) 0()2x 0xA.eB.e 2C.D.ln2 ln2 2答案:B 解析:f lnx=1+lnx, 1( )1xxx 由 1+ln知e. 02x 0x 2.设cos(x),N,则等于( ) 0( )fx 10( )x f xf21( )( )xfxf1( )nnfxf( )x n 2010( )fxA.sinxB.-sinx C.cosxD.-cosx 答案:D 解析:cosx)=-sin(-sinx)=-coscosx)=sinx,1( )(f x 2( )x fx3( )(x fx sinx)=cosx,由此可知的值周期性重复出现,周期为 4,4( )(fx ( )nfx故-cosx. 20102( )( )fxfx3.设函数tan其中则导数 f (1)的取值范围是( ) 323cossin( )32f xxx5012A.-2,2B. 23C.D. 3 2 2 2答案:D 解析:f (x)=sincos 23xx f (1)=sincossin. 32()3 5012. 3433sin. 2()132f . (1) 2 24.已知的导函数为 f (x),则 f (i)等于(i 为虚数单位)( ) 221( )xf xxA.-1-2iB.-2-2i C.-2+2iD.2-2i 答案:D 解析:因为 f 所以 f (i)i=2-2i. 2422 (21)( )xxxxx242i2i(2i1)242i 5.设函数 f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),且 f (0)=6,则 k 等于( ) A.0B.-1 C.3D.-6 答案:B 解析:f (x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x+2k)(x-3k), 故 f . 3(0)6k 又 f (0)=6,故 k=-1. 题组二 导数的几何意义 6.(2011 江西高考,文 4)曲线 y=e 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) xA.1B.2 C.e D. 1 e答案:A 解析:y=e当 x=0 时,e即 y=1. x01 7.若曲线lnx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 . 2( )f xax答案: (0)解析:f . 1( )2xaxxf(x)存在垂直于 y 轴的切线, f (x)=0 有解,即有解. 120axx. 21 2ax . (0)a 8.已知函数. 3( )16f xxx(1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 1 4yx 解:(1)f 3( )(16)xxx231x 在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f (2)=13. 切线的方程为 y=13(x-2)+(-6), 即 y=13x-32. (2)法一:设切点为 00()xy则直线 l 的斜率为 f 2 00()31xx 直线 l 的方程为. 2 00(31)()yxxx3 0x 016x 又直线 l 过点(0,0), . 23 00000(31)()16xxxx整理得. 3 08x . 02x 3 0( 2)( 2) 1626y . 23 ( 2)113k 直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为 00()xy则 3 00000016 0yxxkxx又k=f 2 00()31xx .解之得. 3 200 0 01631xxxx02x 3 0( 2)( 2) 1626y . 23 ( 2)113k 直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). (3)切线与直线垂直, 34xy 切线的斜率 k=4. 设切点的坐标为则 f 00()xy2 00()314xx . 01x 或 001 14x y 001 18x y 切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14. 题组三 导数的灵活运用 9.曲线在点(-1,-1)处的切线方程为( ) 2xyxA.y=2x+1B.y=2x-1 C.y=-2x-3D.y=-2x-2 答案:A 解析:y| 22 (2)x12x 所以切线方程为 y+1=2(x+1), 即为 y=2x+1. 10.已知直线 x+2y-4=0 与抛物线相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,P 在抛物线的弧 AOB24yx上,当PAB 面积最大时,P 点坐标为 . 答案:(4,-4) 解析:|AB|为定值,PAB 面积最大,只要 P 到 AB 的距离最大,只要点 P 是抛物线上平行于 AB 的 切线的切点,设 P(x,y).由图可知,点 P 在 x 轴下方的图象上, . 2yx y. 1 x 1 2ABk . 11 2x x=4,代入得 y=-4. 24 (0)yx yP(4,-4). 11.对于三次函数定义:设 f (x)是函数 y=f(x)的导函数 y=f (x)32( )(0)f xaxbxcxd a的导数,若 f (x)=0 有实数解则称点为函数 y=f(x)的”拐点”.现已知0x 0(x 0()f x请解答下列问题: 32( )322f xxxx (1)求函数 f(x)的”拐点”A 的坐标; (2)求证 f(x)的图象关于”拐点”A 对称. 解:(1)f (x)=6x-6. 2( )362xxxf 令 f (x)=6x-6=0 得 x=12. 3(1)1322f 拐点 A(1,-2). (2)证明:设是 y=f(x)图象上任意一点,则00()P xy32 0000322yxxx 因为关于 A(1,-2)的对称点为 P把 P代入 y=f(x)得 00()P xy0(2x04)y 左边 32 00004322yxxx 右边=2=. 0(2)x330(2)x2 02(2)x32 000322xxx左边=右边.P在 y=f(x)图象上. 00(24)xy y=f(x)的图象关于点 A 对称.