1图 1AABBCC2 3图 12立体几何立体几何变式题变式题1 （人教 A 版，必修 2P17第 4 题） 图 1 是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称正视图侧视图俯视图变式题 1如图 11 是一个几何体的三视图（单位：cm） （）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ； （）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线与所成的角为，求AABCcos俯视图A正视图侧视图ABBABCABCABC123113解：（）这个几何体的直观图如图 12 所示 （）这个几何体是直三棱柱由于底面的高为 1，所以ABC22112AB 故所求全面积22ABCBB C CABB ASSSS 122 1 3 22 3286 22 2(cm )图 112这个几何体的体积12 1 332ABCVSBB 3(cm )（）因为，所以与所成的角是/AABBAABCB BC在中，Rt BB C 22223213BCBBB C 故33cos131313BB BC2 （人教 A 版，必修 2，P20例 3） 如图 2，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图俯视图PP正视图侧视图OOOOAAA变式题 21如图 21已知几何体的三视图（单位：cm） （）画出它的直观图（不要求写画法） ； （）求这个几何体的表面积和体积2PP正视图侧视图OOOOAAAAA22 22222俯视图解（）这个几何体的直观图如图 22 所示图 2图 213PAAOO图 221A图 24ABC EDPQ1B1D 1C（）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱（底面半径为 1cm，高为 2cm） ，它的上部是一个圆锥（底面半径为 1cm，母线长为 2cm，高为cm） 3所以所求表面积，2121 21 27S 2(cm )所求体积22131213233V 3(cm )变式题 22如图 23，已知几何体的三视图（单位：cm） （）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ； （）求这个几何体的表面积及体积；（）设异面直线、所成角为，求 （理科考生）1AQPDcos俯视图正视图侧视图PPPAA1A1A 1A1B1BB1C1D1DDQQ222222211解：（）这个几何体的直观图如图 24 所示 （）这个几何体可看成是由正方体及直三棱柱的组合体1AC1111BC QAD P由，112PAPD112ADAD可得11PAPD故所求几何体的全面积 2215 22 2222224 22S 2(cm )所求几何体的体积 231222102V 3(cm )（）由，且，可知，/PQCDPQCD/PDQC图 2341D图 31A1ABCD1B1C FE故为异面直线、所成的角（或其补角） 1AQC1AQPD由题设知，22222 1111226AQABBQ1322 3AC 取中点，则，且，BCEQEBC3QE 222223110QCQEEC由余弦定理，得222 11 1 1coscos2AQQCACAQCAQ QC6 10 1215 152 6103 （北师大版必修 2P31第 4 题）如图 3，已知 E，F 分别是正方体的棱和棱上的点，且1111ABCDABC D1AA1CC，求证：四边形是平行四边形1AEC F1EBFD图 3A1ABCD1B1C F1DE变式题：如图 31已知、分别是正方体的棱和棱的中EF1111ABCDABC D1AA1CC点（）试判断四边形的形状；1EBFD（）求证：平面平面1EBFD 11BB D解（）如图 32，取的中点，连结、1BBM1AMMF、分别是和的中点，MF1BB1CC，11/MFBC在正方体中，有1111ABCDABC D， ，1111/ADBC11/MFAD1D图 32A1ABCD1B1CFE5四边形是平行四边形，11AMFD11/AMD F又、分别是、的中点，EM1AA1BB，1/AEBM四边形为平行四边形，1AEBM1/EBAM故1/EBD F四边形是平行四边形1EBFD又，Rt EABRt FCB，BEBF故四边形为菱形1EBFD（）连结、四边形为菱形，EF1BD11AC1EBFD1EFBD在正方体中，有1111ABCDABC D，1111B DAC111B DA A平面11B D 11A ACC又平面，EF 11A ACC11EFB D又，111B DBDD平面EF 11BB D又平面，EF 1EBFD故平面平面1EBFD 11BB D6A1AB1BC1CD1D图 4A1AB1BC1CD1DxyzF图 42EA1AB1BC1CD1DF图 41E4 （人教 A 版，必修 2，P74例 2）如图 4，在正方体中，求直线与平面所成的角1111ABCDABC D1AB11ABCD变式题：如图 41，已知正四棱柱中，底面边长1111ABCDABC D，侧棱的长为 4，过点作的的垂线交侧棱2AB 1BBB1BC于点，交于点1CCE1BCF（）求证：平面；1AC BED（）求与平面所成的角的正弦值1ABBDE解：（）如图 42，以为原点，、所在直线分别为、轴建DDADC1DDxyz立空间直角坐标系Dxyz1111(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)DABCABCD设，则(0,2, )Et1( 2,0, ),( 2,0, 4)BEtBC ，1BEBC14040BE BCt ，1t (0,2,1)E( 2,0,1)BE 又，1( 2,2, 4),(2,2,0)ACDB 且14040AC BE 14400AC DB 且1ACDB 1ACBE 且平面1ACBD 1ACBE 1AC BDE7ACDPB图 5ABCDPQ图 51（）由（）知是平面的一个法向量，又，1( 2,2, 4)AC BDE1(0,2, 4)AB 11 11 1130cos,6|AC ABAC ABACAB 与平面所成角的正弦值为1ABBDE30 65 （人教 A 版，必修 2，P87，第 10 题）如图 5，已知平面，且是垂足，试判断直线, ,AB PCPDC D与的位置关系？并证明你的结论ABCD变式题 51，如图 5，已知平面，且是垂足, ,AB PCPDC D（）求证：平面；AB PCD（）若，试判断平面与平面的位1,2PCPDCD置关系，并证明你的结论变式题 51，如图 5，已知平面，, 且是垂足,AB PCPDC D（）求证：平面；AB PCD（）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结1,2PCPDCD论解（）因为，所以同理,PCABPCABPDAB又，故平面PCPDPAB PCD（）设与平面的交点为，连结、ABPCDHCHDH因为平面，所以，AB PCD,ABCH ABDH所以是二面角的平面角CHDCABD又，所以，即1,2PCPDCD2222CDPCPD090CPD8ABCDPQ图 52E在平面四边形中，PCHD090PCHPDHCPD 所以090CHD故平面平面变式题 52如图 51，已知直二面角，与平面、所AB,PQPQ成的角都为，0304PQ 为垂足，为垂足,PCAB C,QDAB D（）求直线与所成角的大小；PQCD（）求四面体的体积PCDQ解：（）如图 52，在平面内，作，连结、则四边形为/CEDQPEQECDQE平行四边形，所以，即为直线与所成的角（或其补角） /EQCDPQEPQCD因为,AB PCAB 所以同理PCQD又与平面、所成角为，所以，所以PQ030030PQC030QPD，03cos3042 32CQPQ01sin30422DQPQ在中，从而Rt CDQ221242 2CDCQDQ2 2EQ 因为，且为平行四边形，QDABCDQE所以EQCE又，所以,PCEQEQPC故平面，从而EQ PCEEQPE在中，Rt PEQ2 22cos42EQPQEPQ所以，045PQE9即直线与所成角的大小为PQCD045（）在中，所以Rt PCQ04,30PQPQC2PC 三角形的面积，CDQ112 222 222CDQSCD DQ故四面体的体积PCDQ1142 222333CDQVSPC6 （人教 A 版，必修 2，P87，B 组第 1 题） 如图 5，边长为 2 的正方形 ABCD 中，（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，EABFBC,AEDDCF,DE DF使两点重合于点，求证：,A CAA DEF（2）当时，求三棱锥的体积1 4BEBFBCAEFD变式题如图 51，在矩形中，是的中点，以为折痕ABCD2,1,ABADECDAE将向上折起，使为，且平面平面DAEDDD AEABCE （）求证：；ADEB （）求直线与平面所成角的正弦值ACABD图 61ABCDEABCDE解（）在中，Rt BCE222BEBCCE在中，Rt AD E222AED AD E，22222ABBEAEABCDEFAEBDF图 610AEBE 平面平面，且交线为，AED ABCEAE平面BE AED 平面，ADAED ADBE （）设与相交于点，由（）ACBEF 知，ADBE ，ADED 平面，AD EBD 平面，ADAED 平面平面，且交线为，ABD EBDBD如图 62，作，垂足为，则平面，FGBDGFG ABD 连结，则是直线与平面所成的角AGFAGACABD由平面几何的知识可知，1 2EFEC FBAB12 33EFEB在中，Rt AEF2222 5293AFAEEF在中，可求得Rt EBDFGD E FBD B2 6 9FG 2 6 309sin152 5 3FGFAGAF直线与平面所成的角的正弦值为ACABD30 15ABCDEFG图 62