2014 概率论与数理统计高端材料 共创考研辅导材料 李声闻 2014 高端概率与数理统计复习题（内部资料不得外传）高端概率与数理统计复习题（内部资料不得外传） 1、设事件的概率均为1/，且, ,A B C4()0, ()()1/1P ABP ACP BC6,则事件均不发生的概率, ,A B C () P ABC 。 p，且至少成功一次的概率为242 243，则 2、在 5 次的独立试验中，每次试验成功的概率为（1）概率p ； （2）第 4 次试验时第 2 次成功的概率 。 【解】 成功的概率为p，5 次中至少有一次成功的概率为32421 (1)243p，所以5511(1)( )2433p 即2 3p 。 3、口袋中有 3 个红球 2 个白球，甲乙两人依次分别取 2 个，取后不返回，第二个人取得 2 个中恰有 1 个 红球 1 个白球的概率为 。(若取后放回，对应的概率： 。) 【解】第一个人的 2 个中有 i 个红球,iA B 第二个人取的 2 个中恰有 1 个红球 1 个白球， 由全概率公式得：0211112011112 323032322112 222222 0535353( )() (/)ii iC C C CC CC CC CC CP BP A P B ACCCCCC=3 5。 4、设某段时间内因各种原因来医院就医的人数服从参数为的 Poisson 分布，每个人患感冒的概率为p，且相互独立，试求这段时间内该医院接待了个感冒患者的概率。 k 【解】设X为患感冒的病人数，而Y表示到医院就医人数，则有 ,0,1,2!i P Yieii， /(1),0,1,2,kki k iP Xk YiC ppki,由全概率公式： ! /(1)!()! !i ki ki ki kiP XkP Yi P Xk Yieppiikk (1)()(1)()(),0,1,2!()!ki ki kkk ppi kppppee eekikkk k 5、设2(1,)XN,且有P XP X，则有标准差（ ） A 等于 大于 小于 不能判别 答案：B 6、设,X Y相互独立，且(1, )XBp， ( )Ye（1的指数分布） ，则ZXY的分布函数为 ( )ZFz 。 【解】 ( ),0,1(1)z ZFzP XYzP XYz XP Yz XpP Yzpe7、设,X Y相互独立，且均有，则以下概率为,(0,1)X YN1 4的（ ） A B C max, 0PX Y min, 0PX Y 0P XY D 0P XY 28、设总体(0,)XN，1,nXX是X的简单随机样本，而X是样本均值，S为样本方差，则统计量（ ）。 22( )nn A 21i iXB 2 2 22 11(n i i iX)XXC 21()i iD 2 2 22 11()ni inXXXn XXPage 1 of 12 2014 概率论与数理统计高端材料 共创考研辅导材料 李声闻 解答题解答题 1、设X的分布函数为 20,1,12( )3(1), 018 1,1xxx F x0xxxx 则，1）概率5P XX2; 2) (21)EX ; 3) 函数2YX的概率密度 X的概率密度函数为,10 3( )1, 024 0,xxf xxx 其他，则 【解】 由于1） 概率52= 52,052,0P XXP XXXP XXX 102 0-1131300(1)()2432PXP Xx dxx dx129 232； 2） 022103(21)2 () 12( )12()(1) 14EXE Xx f x dxxdxxx dx 323 02 10112|()| 12(0) 13243xxx 3 3） 讨论分布函数则 2,YX( )YFya) 由于2,yx有效区间为04y ,1(1)yx 是分界点， b)讨论： 0,( )0yyFy201,( )yYyFyP XyPyY003(1)4yyxdxx dx 01032,( )(1)4yYyFyPyYyxdxx dx c ) 的概率密度函数 2YX14(1),018113(),1( )( )240,YYyyyfxFyy4 其他X的密度函数为 ,12 1( ),122 0,xxf xx 其他21，且YX ， 试求： （I）随机变量Y的密度函数2、 设Page 2 of 12 2014 概率论与数理统计高端材料 共创考研辅导材料 李声闻 ( )Yfy ； （II） (, )COV X Y2YX 【解】 ： （I） ，则函数 121yx 的对应范围为 1y3 ，注意到为分界点。 分段讨论0y 2X( )YFyP 1,( )yF 111yPyXy 1） 0;4,( )1YYyyFy2） 110010,Y( )1122yyxyFyPyXydxxdx 3） 1111103,Y( )1122yxyFyPyXydxdx 所以对应的密度函数为 1,102 1( ),03,410,Yyfyyy, 其他2)（II） 223)(,1)(,)()() (COV X XCOV X XE XE X E X(,COV X Y2121113()(Xxf x)222xxEdxxdxdx 22121222311011717()22246xxxE Xxdxdxx dxdx 12 312233311111()222xxE Xxdxdxx dx 5 8 则 32153171(, )()() ()82124COV X YE XE X E X X的概率密度函数为 3、设01( ),120,xxf xaxx 其他1） 确定a； 2）分布函数( )F x；3) ()求Y的分布函数()G X 4）概率. YF X22( )PYE Y【解】1）由于 ( )1f x dx，所以1201131()1,22xdxax dxaaa2 2）01000,0,01 ( )( ) (2), 121,2xxxxtdtx F xf t dt tdtt dtxx 220,0,02 1(14),122 1,2xxxxxxx 1 3）对应的函数为分布函数()YF X( )yF x，单调非降的连续函数，且0，因此 1y0,( )0;yG y0,( )1;yG y1101,( ) ()( )( );yG yP F XyP XFyF Fyy Page 3 of 12 2014 概率论与数理统计高端材料 共创考研辅导材料 李声闻 所以有的分布函数，所以YF()YF X()X0,0( ), 011,0yG yyyy 服从(0上均匀分布； ,1)4）22112( )222PYE YPYP Y1 24、设随机变量 ( )Xe，试求：1）时，；2）2XYXe)(E XY1max,ZXX的密度函数。 X的密度函数为,0( )0,0xexf xx， 【解】 1） 2222()()()() )(XXE XYE XXeD XEXE Xe)2(2 2011( )x)xedx 2(2) 220112( )(2)2(xxedx 22)2） 对1max,ZXX的对应函数1max , zxx， （I）有效区域为0z ， （0x ）1z 为分界点 （II）Z分布函数为 1( )max,ZFzPXzX， 讨论 a) 101,( )max,ZzFzPXzX 11max,01max,10PXzXPXz XXX b) 11,( )max,ZzFzPXzX 11max,01max,1PXzXPXz XXX 1111,01,1zxxzPzXP Xz XedxeXdx (III) Z的概率密度函数为 / 21(),( )( ) 0,0zzZZeezfzFzz z0 。 5、设口袋中有红球 2 个白球 1 个黑球 2 个，连续取 2 个球，令XYZ、 、分别表示其中红球、白球与黑 球的个数，试求：1）概率； 2）(,1/0P YX)X Y的联合分布律； 3）max,2 ZXY分布律； 4) 协方差CO。 (2,VXY)X【解】1）1,01,11/000P YXP YZP YXP XP X2 32） (, )X Y的联合分布律； Y X 0 1 0 1 2 1/10 1/ 5 2/5 1/ 5 1/10 03) (, )X Y的联合分布律 max(,2 )ZXY 0 1 2 ip 1/102/51/ 2Page 4 of 12 2014 概率论与数理统计高端材料 共创考研辅导材料 李声闻 4) X 的分布律为 (2,)VXY XCOX 0 1 2 2 ()(, )D XCOV X Y 9123225525()4/5E X 。 其 中 ： 249()1 ( )52D X