1模块框架高考要求要求层 次重难点柱、锥、台、球及其 简单组合体A三视图B空间几何体 的结构与三 视图斜二测法画简单空间 图形的直观图B 认识柱、锥、台、球及其简单组合 体的结构特征，并能运用这些特征描述 现实生活中简单物体的结构 能画出简单空间图形（长方体、球、 圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三 视图，能识别上述的三视图所表示的立 体模型，会用斜二侧法画出它们的直观 图 会用平行投影与中心投影两种方法， 画出简单空间图形的三视图与直观图， 了解空间图形的不同表示形式 会画某些建筑物的视图与直观图 （在不影响图形特征的基础上，尺寸、 线条等不作严格要求） 空间几何体 的表面积与 体积球、棱柱、棱锥的表 面积和体积A了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体 积的计算公式（不要求记忆公式）空间几何体2知识内容一、空间几何体 1几何体 只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个 几何体，比如长方体，球体等 2构成几何体的基本元素：点、线、面几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母来命名；ABC与与 几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段） ；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母或用直线上两个点表示；abl与与ABPQ与 一条直线把平面分成两个部分 几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分） ；DCBA其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它 想象成无限延展的； 平面一般用希腊字母来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的与与 字母来命名，如右图中，称平面，平面或平面；ABCDAC 一个平面将空间分成两个部分 3用运动的观点理解空间基本图形间的关系 在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线； 把面看成线运动的轨迹，线动成面； 把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分） ，面动成体 4从长方体实例看空间几何体的基本元素 如图的长方体通常记为，ABCDA B C D DCBA DCBA它有六个面（即围成长方体的各个矩形） ，十二条棱（相邻两个面的公共边） ，八个顶点 （棱与棱的公共点） 看长方体的棱：，；AABBCCDDABA B AAABABBC与 （与有什么关系呢？可以引出两条直线的一种新关系：异面）AABC 看长方体的面：平面平行于平面，平面平行于平面ABCDA B C D ABB A DCC D 棱垂直于底面，棱垂直于侧面A AABCDABBCC B 5截面 一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部） ，叫做这个几何体的截面， 如图3截截截 截截 截 DCBAED CBA立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区别的，立体几何里的平面是理想化的，绝对平且无限延展的，它是点的集合立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分，无形状，无边沿，无厚度，不可度量我们通常画平行四边形表示平面，它表示的是整个平面，没有边沿，一般把这个平行四边形的锐角画成，并将横边的长度画成邻边的两倍画两个相交平面时，45当一个平面的一部分被另一部分遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画，以增加立体感 有时根据需要我们也可以用其它平面图形来表示一个平面，如用三角形，圆等在立体几何中，辅助线并不总是虚线，而是根据实际情况，能看到的用实线，被遮住的用虚线，以增强立体感，更好地配合空间想象我们说两个平面时，通常情况下是指两个不重合的平面异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线如果两条直线既不平行又不相交，则它们是异面直线（一）多面体 1多面体 由若干个平面多边形所围成的几何体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两 个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上 的两个顶点的线段叫做多面体的对角线 如上面长方体中，有四条对角线，又称体对角线，ACA CBDB DABBC称为面对角线 2多面体的分类 按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的 同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体否则就叫做凹多面体 按面数分类：一个多面体至少有四个面多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、 六面体等等 3简单多面体 定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体； 欧拉公式：简单多面体的顶点数、面数和棱数有关系VFE2VFE 4正多面体 定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面 体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这 5 种； 正多面体的所有棱和所有的二面角都相等； 经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心， 且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等（二）棱柱41棱柱 由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱 平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面 叫做棱柱的侧面；相 邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与 底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高 下图中的棱柱，两个底面分别是面，侧面有，等四个，ABCDA B C D ABB A DCC D 侧棱为，对角面为面，为棱柱的高AABBCCDD与与与ACC ABDD B 与A HDCBAHADBC2棱柱的性质 棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且 相等 3棱柱的分类： （1）按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、 五棱柱； （2）按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的 棱柱叫直棱柱； （3）底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 4棱柱的记法： 用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱； 用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱 例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱或棱柱等ABCDA B C DAC 5特殊的四棱柱：与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 底面是平行四边形 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 与 （三）棱锥 1棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥 它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形5棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边 形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截 面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做 棱锥的高 2棱锥的分类 底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥； 底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥 正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高主 主 主 SACE主主 主主 主主 主 ABCDEHSDCBA3棱锥的记法 用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示如 上图的五棱锥记为棱锥或棱锥SABCDESAC（四）棱台 1棱台 棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台 原棱锥的底面和截面分别叫做 棱台的下底面和上底面 ；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面 的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为 棱台 的高 2棱台的性质 棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3棱台的记法 用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示 4正棱台 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形 的高叫做棱台的斜高HHOOCBACBA右图为一个正三棱台，记为棱台，侧棱，延长后必交于一点ABCA B C AABBCC，为上下底面的中心，它们的连线是棱台的高，是棱台的斜高OOO OH H 5解决正棱锥与正棱台问题时需要注意的性质6正棱锥的性质很多，要特别注意的是： 平行于底面截面的性质：如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么： 棱锥的侧棱和高被这个平面分成比例线段 所得的截面和底面是对应边互相平行的相似正多边形 截面面积和底面面积的比，等于从顶点到截面和从顶点到底面的距离平方的比，即等于 截得的棱锥与已知棱锥的高的平方比 有关正棱锥的计算问题，要抓住四个直角三角形和两个角： 正棱锥的高、侧棱及其在底面的射影、斜高及其在底面的射影、底面边长的一半可组成四 个直角三角形，即下图，这是解决正棱锥计算问题的基本Rt SOHSOCSHCOHC 依据，必须牢固掌握HHOODCBADCBAS棱台的性质都由截头棱锥这个特征推出的，掌握它的性质，就得从这个特征入手，有关正 棱台的计算问题，应抓住三个直角梯形、两个直角三角形：正棱台的两底面中心的连线、 相应的边心距、相应的外接圆半径，侧棱，斜高，两底面边长的一半，组成三个直角梯形 （梯形，）和两个直角三角形（，）OO H H OO C C HH C C O H C OHC（五）圆柱、圆锥和圆台 1定义 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直 线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台这条旋转轴叫做几何体的轴，轴 的长即为该旋转体的高垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而 成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台 一般用表示它的轴的字母来表示 2性质 圆柱、圆锥、圆台的性质： 平行于底面的截面都是圆； 过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形SOOOOOAAAAA（六）球与球面 1定义 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体） ，半圆旋转而成的7曲面叫做球面半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球 心的线段叫作球的直径一般用球心的字母表示一个球 球面也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，球体可以看成到空间中一个 定点的距离小于等于定长的点的集合 2两点间的球面距离 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小 圆； 在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧 长叫做两点间的球面距离飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行 3球的截面性质 球的小圆（指不过球心的截面圆）的圆心与球心的连线垂直于小圆所在平面，有，其中为截面圆的半径，为球的半径，为球心到截面圆的距离，即球心22rRdrRd 与截面圆圆心的距离 4经纬度 纬线与纬度：赤道是一个大圆，它是纬线，其它纬线是由与赤道面平行的平面截球所得0 到的小圆，某地的纬度就是经过该点的球半径与该半径在赤道面上的正投影所成的角的度 数 如图：圆是赤道面，圆是纬线圈，点的纬度就等于OOP 的度数，也等于的度数POAOPOBCAOPO经线与经度：经线是地球表面上从北