一章一章 函数与极限函数与极限 1. 集合与函数集合与函数 1.1 集合的概念集合的概念 具有某种特定性质的事物的的全体。具有某种特定性质的事物的的全体。 全体非负整数（自然数）构成的集合全体非负整数（自然数）构成的集合0,1,2,3.记为记为 N。 全体正整数构成的集合全体正整数构成的集合1,2,3.记为记为 。 全体整数构成的集合全体整数构成的集合.-1,0,1,2.(记为记为 Z). 全体实数构成的集合全体实数构成的集合 R. 1.2 基本初等函数和初等函数基本初等函数和初等函数 反对幂指三是基本初等函数反对幂指三是基本初等函数. 将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算将基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的所得到的 且能用一个式子表示的函数称为初等函数且能用一个式子表示的函数称为初等函数. 1.3 极坐标与直角坐标系的关系极坐标与直角坐标系的关系 sincos yx)0(tan22xxyyx1.4 几种特殊性质的函数几种特殊性质的函数 (1)有界函数有界函数 F(x)在在 x 上有界的充分必要条件为上有界的充分必要条件为:存在常数存在常数 M0,使得使得| f(x) | M,对对 任意任意 x 属于属于 X.X.这时称风这时称风 f(x)f(x)在在 x x 上有一个界上有一个界. . (2)奇偶函数奇偶函数 F (x)=f(-x),称为偶函数称为偶函数. F (-x)=-f(x),称为奇函数称为奇函数. (3)周期函数周期函数 f(x+L)=f(x)恒成立恒成立,称称 f(x)为周期函数为周期函数.L 为为 f(x)的最小正周期的最小正周期. 2.极限极限 2.1 数列极限的定义数列极限的定义 设有数列设有数列 an,若存在常数若存在常数 a a，对任意给定的，对任意给定的0,0,总存在正整数总存在正整数 N N，当，当nNnN 时，恒有时，恒有| | an- -a a |a,ba,那么存在那么存在 正整数正整数 N N，当，当 nNnN 时，恒有时，恒有bn an. . ( (4 4) ) 设有数列设有数列an，bn分别收敛于分别收敛于 a,b,a,b,并且存在正整数，当并且存在正整数，当 时，恒有时，恒有bnan，那么，那么ab （5 5）数列数列 收敛于收敛于 a a 的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于的充分必要条件是它的任何一个子集数列都收敛于 a.a. 2.32.3 函数极限函数极限 （1 1）设函数设函数 f(x)f(x)在的某去心邻域有定义在的某去心邻域有定义. .若存在常数，使若存在常数，使 对任给的对任给的00，总存在，当，总存在，当x0时，恒有时，恒有 （）恒成立，则称当（）恒成立，则称当xx0时，（）以时，（）以 为极限记作：为极限记作： )(lim0xf xx或或Axf)(，当，当xx0 （）函数极限的性质函数极限的性质 . .（唯一性）如果存在，那么极限是唯一的。（唯一性）如果存在，那么极限是唯一的。 . .（局部有界性）如果存在，那么存在常数，和，使（局部有界性）如果存在，那么存在常数，和，使 得当得当x0时，恒有时，恒有 （）（） 局部保号性局部保号性 . .如果函数在如果函数在x0的某去心邻域有定义并且的某去心邻域有定义并且)(lim0xf xx如果如果xn是一个在该去心领域取值的数列，是一个在该去心领域取值的数列，xxn0（,2,.),2,.)且且limnx0则有 )(limxn nf 如果如果Axf xx)(lim0，)(lim0xg xx，并且存在常数，并且存在常数，使得当使得当x0，有，有)()(xgxf，那么，那么。 极限存在的准则与两个重要极限极限存在的准则与两个重要极限 . .（夹逼准则）设数列（夹逼准则）设数列xn，y n，zn满足满足 （）从某一项起，即存在正整数（）从某一项起，即存在正整数N0，当，当N0时，恒有时，恒有 xny nzn； （）（）azxn nnnlimlim那么那么 yn nlim . . 单调有界数列必有界限。单调有界数列必有界限。 . . 两个重要的极限两个重要的极限 1sinlim 0xxxexxx )11 (lim 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 . . 在自变量的某一变化过程中，（）的充分必有条件是在自变量的某一变化过程中，（）的充分必有条件是 （），其中（），其中是在自变量同一变化过程中的无穷小。是在自变量同一变化过程中的无穷小。 4.2 4.2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。 4.34.3 设设, ,为同一过程下的无穷小，且为同一过程下的无穷小，且0.如果如果 0lim，称是比高阶的无穷小，记作，称是比高阶的无穷小，记作=o()（这时也称是（这时也称是比低阶的无穷小） ；比低阶的无穷小） ； 0lim c,称与是同阶无穷小；称与是同阶无穷小； 1lim，称与是等价无穷小，记作，称与是等价无穷小，记作； 0lim ck，称是关于的，称是关于的 k 阶无穷小（其中阶无穷小（其中 k 是正实数） 。是正实数） 。 4.4 无穷小量与无穷大量是倒数关系。无穷小量与无穷大量是倒数关系。 4.5 几组无穷小等价几组无穷小等价 xsinx xtan xxarcsin xxarctan xx2 21cosx-1xxn n111注意：利用等价无穷小代换时必须将一个因式“整体”注意：利用等价无穷小代换时必须将一个因式“整体” 作代换。作代换。 5 函数的连续性及间断点函数的连续性及间断点 5.1 设函数设函数)(xf点点x0的某领域的某领域)(0xU内有定义，若内有定义，若 0)()(0000limlimxxfxfyxx，或，或 )()(0lim0xfxf xx，则称函数，则称函数)(xfy 在点在点x0连续。连续。 若若)(0lim0xf xx称称)(xf在在x0点右连续；若点右连续；若)(0lim0xf xx，则称，则称)(xf在在x0点左连续；点左连续； 5.2 )(xf在在x0点连续点连续)(xf在在x0点既右连续又点既右连续又左连续。左连续。 5.3 若函数在区间上每一点处都连续，称函数在该区间连续。若函数在区间上每一点处都连续，称函数在该区间连续。 注意：如果区间包括端点，那么在端点讨论函数的连续性只注意：如果区间包括端点，那么在端点讨论函数的连续性只能是单侧连续。即在左端点右连续，在右端点左连续。能是单侧连续。即在左端点右连续，在右端点左连续。 5.4 函数函数)(xf在点在点x0连续必须满足三个条件：连续必须满足三个条件： （1）)(xf在点在点x0有定义；有定义； （2）在）在xx0时，时，)(xf有极限；有极限； （3）极限）极限)(lim0xf xx的值等于的值等于)(0xf。 5.5 两类间断点两类间断点 极限存在的是第一类间断点，反之，为第二类间断点。极限存在的是第一类间断点，反之，为第二类间断点。 6 连续函数的性质与初等函数的连续性连续函数的性质与初等函数的连续性 6.1 若函数若函数)(xf，)(xg在点在点x0皆连续，那么函数皆连续，那么函数 )(xg)(xf,gf ,gf(0)(0xg)在点在点x0也是连续的。也是连续的。 6.2 若函数若函数)(xfy 在区间在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，那上单调增加（或单调减少）且连续，那 么它的反函数么它的反函数1)(yx 在对应的区间在对应的区间),(|IIxyxxfyy上单调增上单调增 加（或单调减少）且连续。加（或单调减少）且连续。 6.3 设函数设函数)(xgfy 是由函数是由函数)(ufy 与函数与函数)(xgu 复合而成， 并且在复合而成， 并且在 x0 的某领域的某领域)(0xU内有定义。若内有定义。若 （1）函数）函数)(xgu 在点在点xx0连续，且连续，且uxg00)(； （2）函数）函数)(ufy 在点在点uu0连续连续 则复合函数则复合函数)(xgfy 在点在点x0也连续，既有也连续，既有 )()(0lim0xgfxgf xx6.4 设有复合函数设有复合函数)(xgfy ，函数函数)(xg在点在点x0的某去心领域内有定义且的某去心领域内有定义且 uxg xx0)(lim0，而函数而函数 f 在点在点u0连续连续 则有则有 )()(0lim0ufxgf xx。 6.5 三个等价无穷小三个等价无穷小(当当0x时时) x )1ln(xx 1-exx 1-)1 (x6.6 基本初等函数在其定义域内是连续的。基本初等函数在其定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义域内都是连续的。一切初等函数在其定义域内都是连续的。 6.7 闭区间上的连续函数在该区间上有界，并且一定能取得最大值与最小闭区间上的连续函数在该区间上有界，并且一定能取得最大值与最小 值。值。 6.8 介值定理介值定理 设函数设函数)(xfy 在闭区间在闭区间a,b上连续，在该区间的两端点处分别取值上连续，在该区间的两端点处分别取值 A,B（AB,那么那么,对对 A,B 之间的任意一个数之间的任意一个数 C，在该区间（，在该区间（a,b)内至少存内至少存 在一点使得在一点使得 cf)(6.9 零点定理零点定理 设函数设函数)(xfy 在闭区间在闭区间,ba上连续且上连续且)(af和和)(bf异号（即异号（即 0)()(bfaf）那么在开区间）那么在开区间),(ba内至少存在一点内至少存在一点使得使得 0)(f通常把满足方程通常把满足方程0)(xf的的 x 的值称作函数的值称作函数)(xfy 的零点的零点. 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学 1 函数的导数的概念函数的导数的概念 1.1 设函数设函数)(xfy 在点在点x0的某领域的某领域)(0xU内有定义，当自变量内有定义，当自变量x在在x0获得增获得增 量量x（点xx仍在)(0xU内）时，相应的函数值有一个增量时，相应的函数值有一个增量 )()(0xfxxfy，如果极限如果极限 xfxxfxyxxx)()(000limlim存在，则称存在，则称)(xfy 在点在点x0可导，并称该极可导，并称该极 限限 值为值为)(xfy 在点在点x0处的导数（微商） ，记作处的导数（微商） ，记作)(0/xf。即即 xfxxfxyxxf xx)()()(0000/limlim。 1.2 导数的几何意义导数的几何意