DCAEB2013 年高中毕业班保温练习保温练习 （数学理科）一、选择题：1.若复数 （ 为虚数单位) 是 z 的共轭复数 ， 则+的虚部为（A）iz1iz2zzA . 0 B.-1 C . 1 D. -2 2.下列命题中，真命题是（D ）A0,0 0xeRx B22 ,xRxxC0ba的充要条件是1baD1, 1ba是1ab的充分条件3.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（D ） A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱 4 把函数 ycos2x1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是（A）5.如图，正方形的边长为 ，延长至，使，连接、则ABCD1BAE1AE ECED （ B ）sinCEDA. B. 3 10 1010 10C. D.5 105 156.将圆 x2+y2 -2x-4y+1=0 平分的直线是（C ）A.x+y-1=0 B .x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=07.在平面直角坐标系中，(0,0), (6,8)OP，将向量OP 按逆时针旋转3 4后，得向量OQ, 则点Q的坐标是（ A ）A.( 7 2,2) B.( 7 2,2) C.( 4 6, 2) D.( 4 6,2)8.已知 F1、F2为双曲线 C：的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则222xycosF1PF2=(C )A. B. C. D. 1 43 53 44 59.样本（12,nx xx）的平均数为x，样本（12,my yy）的平均数为()y xy，若样本（12,nx xx，12,my yy）的平均数，其中102，则 n,m(1)zxy的大小关系为( A ) Anm Bnm Cnm D不能确定10设 a0，b0,下列选项正确的是（A）A若2223abab ，则 ab B若2223abab ，则 abC若2223abab ，则 ab D若2223abab ，则 ab11. 右图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填 入（ D ）A1000NP B4 1000NP C1000MP D4 1000MP 12已知矩形 ABCD，AB1，BC2将ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列选项正确是（B）A存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直B存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直C存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直D对任意位置，三直线“AC 与 BD” ， “AB 与 CD” ， “AD 与 BC”均不垂直 二、填空题：13.设数列an,bn都是等差数列，若，则711ba2133ba_35_.55ba14.右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 2 米，水面宽l4 米，水位下降 1 米后，水面宽(单位:米) .6215.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗A原料 1 千克、B原料 2 千 克；生产乙产品 1 桶需耗A原料 2 千克，B原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元，每 桶乙产品的利润是 400 元;公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都 不超过 12 千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得 的最大利润是_2800 元_16.对于实数ba,，定义运算“”： baabbbaababa,22 ，设) 1() 12()(xxxf，且关于x的方程为)()(Rmmxf恰有三个互不相等的实数根321,xxx，则321xxx的取值范围是_)0 ,1631(_.三、解答题：17.设函数22( )cos(2)sin24f xxx .（I）求函数( )f x的最小正周期；（II）设函数( )g x对任意xR，有()( )2g xg x，且当0,2x时，1( )( )2g xf x；求函数( )g x在,0上的解析式.解：（I）22111( )cos(2)sincos2sin2(1 cos2 )24222f xxxxxx11sin222x ,函数( )f x的最小正周期2 2T .（II）当0,2x时，11( )( )sin222g xf xx ,当,02x 时，()0,22x 11( )()sin2()sin22222g xg xxx ,当,)2x 时，()0,)2x 11( )()sin2()sin222g xg xxx ,得：函数( )g x在,0上的解析式为.1sin2 ,022( )1sin2 ,)22x x g x x x 18.某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有nm道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量。（）求2Xn的概率；（）设mn，求X的分布列和均值（数学期望）.解：（I）2Xn表示两次调题均为A类型试题，概率为1 2nn mnmn（）mn时，每次调用的是A类型试题的概率为1 2p ，随机变量X可取,1,2n nn21()(1)4P Xnp，1(1)2 (1)2P Xnpp，21(2)4P XnpXn1n2nP1 41 21 4 111(1)(2)1424EXnnnn19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E 是 CD 的中点.（）证明：CD平面 PAE； （）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与 平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥 P-ABCD 的 体积. 解：（）连接 AC，由 AB=4， ，905.ABCAC, 得是的中点，所以5,AD 又.CDAE所以,PAABCD CDABCD平面平面.PACD而内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.,PA AE是平面PAE（）过点作,.BGCDAE ADF GPF 分别与相交于连接由（）CD平面 PAE 知，平面 PAE.于是为直线与平面 PAEBPF所成的角，且.BGAE由知，为直线与平面所成的角.PAABCD 平面PBAPBABCD由题意，知4,2,ABAGBGAF,PBABPF 因为所以sin,sin,PABFPBABPFPBPB.PABF由所以四边形是平行四边形，90/ /,/ /,DABABCADBCBGCD 知，又BCDG故于是3.GDBC2.AG 在中，所以RtBAG4,2,ABAGBGAF2 22168 52 5,.52 5ABBGABAGBFBG于是8 5.5PABF又梯形的面积为所以四棱锥的体积为ABCD1(53) 416,2S PABCD118 5128 516.33515VSPA法 2：如图（2） ，以 A 为坐标原点，所在直线分别为建立空,AB AD APxyz轴，轴，轴间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：,PAh(4,0,0), (4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0), (0,0, ).ABCDEPh（）易知因为( 4,2,0),(2,4,0),(0,0, ).CDAEAPh 所以而是平面8800,0,CD AECD AP ,.CDAE CDAP,AP AE内的两条相交直线，所以PAE.CDPAE 平面()由题设和（）知，分别是，的法向量，而 PB 与,CD AP PAE平面ABCD平面所成的角和 PB 与所成的角相等，所以PAE平面ABCD平面cos,cos,.CD PBPA PBCD PBPA PB CDPBPAPB , 即由（）知，由故( 4,2,0),(0,0,),CDAPh (4,0,),PBh 222160000. 162 516hhhh 解得.8 5 5h 又梯形 ABCD 的面积为，所以四棱锥的体积为1(53) 4162S PABCD.118 5128 51633515VSPA 12(,0),( ,0)FcF c分别是椭圆2222:1(0)xyCabab 的左，右焦点，过点1F作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点2F作直线2PF的垂线交直线2axc于点Q；（I）若点Q的坐标为(4,4)；求椭圆C的方程；（II）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.解：（I）点11(,)(0)Pc yy代入22221xy ab得：21bya21204014b aPFQFccc ,又2 4a c ,222( , ,0)cab a b c由得：2,1,3acb 既椭圆C的方程为22 143xy .（II）设22(,)aQyc；则22 12220012b yaPFQFyaacccc 得：222PQbacakaacc 2222222 2222 22 21bxxybaybxyababbxa 过点P与椭圆C相切的直线斜率xcPQckyka .得：直线PQ与椭圆C只有一个交点。21.已知函数=，其中a0.( )f xaxex（）若对一切 xR，1 恒成立，求a的取值集合.( )f x（II）在函数的图像上取定两点，记直线AB的( )f x11( ,()A xf x22(,()B xf x12()xx斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2） ，使成立？若存在，求的取值范围；0()fxk0x若不存在，请说明理由.解：（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，0a 0x ( )f x1axex0a 故.0a 而令( )1,axfxae11( )0,ln.fxxaa得当时，单调递减；当时，单调递增，11lnxaa( )0,( )fxf x11lnxaa( )0,( )fxf x故当时，取最小值11lnxaa( )f x11111(ln)ln.faaaaa于是对一切恒成立，当且仅当,( )1xR f x.