图示矩形截面梁，截面宽度 b=90mm，高度 h=180mm。在两互相垂直的平面内分别有水平 力 F1和铅垂力 F2作用。若已知 F1=800N，F2=1650N，l=1m。求 梁的最大弯曲正应力并指明其作用位置； 若改为 a=130mm 的正方形截面，最大正应力为多少？ 若改为 d=130mm 圆形截面，最大正应力为多少？解：解：危险截面在固定端，该截面上的弯矩lFMy1max2lFMz2maxMPabhlF hblFWM WMzzyy98. 961222 21maxmax max若为正方形截面，梁发生平面弯曲，但最大 正应力仍在角点处，故MPaalF alF88. 861232 31 max若为圆形截面，梁发生平面弯曲，则MPadlFlF28. 62632 22 1 max吊车梁受集中载荷作用，已知梁为工字形截面，截面型号为 No.25，跨长 l=4m，材料的许 用应力=170MPa。试确定许可F。 解：解： 弯矩 FFlM4max20sin20sin4maxFFlMy20cos20cos4maxFFlMz查表 3283.48cmWy388.401cmWZ由 )20cos20sin(maxmax max zyzzyy WWFWM WMhF2llbyzF1AB l20FFzy得 kNF04.18厂房立柱，载荷情况及截面尺寸如图所示。已知 F1=80kN，F2=40kN，F3=5kN。求立柱下 部的最大拉应力和最大压应力。 解：解：将外力向所求截面形心简化，则kNmFFFMkNFFFzN 2860001505012032121 MPaWM AFzzN t8 . 930015061028 30015010120263maxMPaWM AFzzN c1 .1530015061028 30015010120263max传动轴如图所示，已知齿轮 B 的节圆直径 dB=400mm，齿轮 D 的节圆直径 dD=200mm，传 动轴的许用应力=100MPa。试按第四强度理论设计轴的直径。 解：解：将外力向轴的形心简化，根据平衡确定 相应的约束反力，得到计算简图和弯矩图如 图所示。 由于 BD 段各截面扭矩相同，而 C 截面 合成弯矩最大，因此 C 截面为危险截面，按 第四强度理论其相当弯矩kNmTMMMzyr37. 1175. 01364. 075. 0222222 4 WMr4max 336 4107 .131001037. 1mmMWr传动轴直径mmWd9 .511014. 37 .13323233 可取传动轴直径为 52mm。ABCD5kN3001003.64kN1.82kN10kN30053.641.821012.586.750.761.8911单位：kN(kNm)0.5670.3640.2281200100F1F2y150F36000位于水平面内的折杆 ABC，B 处为 90 折角，受力情况如图所示。杆的直径 d=70mm，材 料为 A3 钢，=170MPa。试求：1、危险点的应力状态；2、按第四强度理论校核折杆的 强度。 解：解：1、BC 段发生弯曲，最大弯矩在 B 截面，其值 MB=2kNm；AB 段发生弯曲和扭转，其 内力图如图示，危险截面在 A 截面。两截面比较知 A 截面最危险，危险点在 A 截面的上 下边缘上，上边缘点的应力状态如图所示MPadMWMyy1 .897014. 31033232363MPadT WTp7 .297014. 31021616363由第四强度理论得 MPar9 .1027 .2931 .8932222 4或 MPadTMWMyr r9 .10207. 014. 310275. 033275. 03233223224 4折杆满足强度要求。已知单元体应力状态如图所示，求 m-m 斜截面上的应力。解：解：由图可知单元体上应力MPax40MPay25MPaxy30030斜截面上应力ABC1mM=1kN.mF=4kN0.5mxyzMy(kN.m)31T(kN.m)240MPa30MPaxy60mmMPax7 .4960sin)30(60cos22540 2254000MPayx1 .1360cos)30(60sin2254000直径 d=100mm 的等直圆杆，受轴向力 F=400kN 及扭转外力偶 Me=8kN.m 的作用，试求： 杆表面上 c 点处由横截面、径向截面和周向截面取出的单元体各截面上的应力，并求该点 处=-30截面上的应力。解解：杆发生轴向拉伸和扭转变形横截面上的正应力 MPadF AFx96.5042横截面上的切应力 MPadM WMepe xy76.40163斜截面上的应力MPa92. 2)60sin(76.40)60cos(296.50 296.5000 300MPa45.42)60cos(76.40)60sin(296.5000 300已知单元体的应力状态如图所示，试求单元体上的主应力、主平面和面内最大切应力。解：解： x 和 y 面上的应力分别为MPax60MPay20MPaxy30主应力MPa303022060 22060221 FMeMeF cc 30xy30MP a60MP a20MP a71.57oMPa703022060 22060223 所在平面的方位角 57.71203030arctan0面内最大切应力MPa5027030 2minmax max焊接工字钢梁受力和几何尺寸如图所示，已知 Iz=88106mm4，求 C 左侧截面上 a、b、c 三 点的主应力及其方位。解：解：1、约束反力)(5 .62 )(5 .187kNFkNFRBRA2、内力 危险截面在 C 的左侧截面上kNmMkNFs75.93 ,5 .1873、应力 a、b、c 三点应力状态如图所示a 点横截面上仅有正应力，该点为单向应力状态MPayIMa za8 .15915010881075.9366 横截面即为主平面，主应力值 0,8 .15921MPaaabb13x cc310c250kN1.5mCAB0.5 mz27015159120abcb 点横截面上仅有切应力，该点为纯剪切应力状态MPaISFmmSzzs bzb3 .8010889109 .33105 .187109 .33213595 .14215120643342主应力 MPaMPa3 .80 ,3 .8031主平面方位角 453 .803 .80arctan0c 点横截面上既有正应力，也有切应力MPayIM c zc8 .14313510881075.9366 MPaISFmmSzzcs czc8 .6010889107 .25105 .187107 .255 .1421512064334其主应力MPaMPacccccc3 .22)2(21 .166)2(222 322 1主平面方位 1 .2001 .1668 .60arctan0单元体应力状态如图所示，求单元体的主应力和最大切应力。解：解：单元体的 z 面上只有正应力，没有切应力，故 z 平面为主平面，其面上的主应力MPaz60单元体上一个主应力已知，另外两个主应力必与该主应力垂直。故此问题可简化为求 解平面应力状态的主应力问题。 在 xy 平面内，两个主应力分别为50MPa10MPa40MPa60MPa zxyMPa704021050 2105022 MPa304021050 2105022 将主应力按代数值大小排列，则MPa701MPa302MPa603单元体上的最大切应力MPa65231 max边长 a=200mm 的正立方混凝土块，无间隙的放入体积较大、变形可忽略不计的钢凹槽中，已知混凝土的泊松比。若混凝土受到 F=500kN 的轴向压力，求混凝土块上的主应力。解解：混凝土块在 F 作用下，横截面上将产生正应力MPaaFy5 .1220010500232由于凹槽不变形，混凝土块在 x、z 方向的应变为零，所以混凝土块在 x、z 方向有正应力， 并且根据各向同性假设可知 x、z 方向的正应力相等。由广义虎克定律可得 01zyxxE即 01yx所以 MPayzx74. 21按主应力的代数值大小排列，混凝土块上的主应力MPaMPa5 .12 ,74. 2321Fyxzxyz图示圆轴，受到拉伸和扭转共同作用，已知圆轴直径 d=30mm，外载荷 F=80kN，Me=300N.m，材料的容许正应力=170MPa，试按第四强度理论校核圆轴的强 度。解：解：圆轴各点的应力状态相同，单元体的应力状态如图所示其中 MPadF AF2 .1133014. 3108044232MPadM WMepe6 .563014. 3103001616333根据第四强度理论，可得 MPar7 .1496 .5632 .11332222 4圆轴满足强度条件。有一厚度为 6mm 的钢板在板面的两个垂直方向受拉，拉应力分别为 150Mpa 和 55Mpa，材 料的 E=2.1105Mpa， =0.25。求钢板厚度的减小值。 解：钢板厚度的减小值应为横向应变所产生，该板受力后的应力状态为二向应力状态，由 广义胡克定律知，其 Z 向应变为： 0244. 010)55150(101 . 225. 0)(6 9yxzE则 mmtZZ146. 0单元体各面的应力情况如图，试确定其主应力和最大剪应力。 （10）解：+30 MPazMeMeF50MPa30MPaxyoz= 0 50 MPa.m.i.nm.a.x 2yx+ 22 x.y2 yx 2500将、按代数值大小排列，得三个主应力为ma.xm.i.nz50 MPa、 30MPa 、=50 MPa。123最大剪应力 = 50 MPam a x13 2 25050一直杆以加速度 a 沿竖直方向运动，已知材料的容重为、弹性模量 E、横截面面积为A、杆长为 l，求：杆内任意横截面上的动应力和最大动应力。dmax)(d解：用动静法 gaAagAAqd1xgaAxqFdNd 1jdjNd dKgaxga AF