南安一中南安一中 2012201220132013 学年度高二上学期期中考学年度高二上学期期中考数学（理）科试卷本试卷考试内容为：选修 2-1。分第 I 卷（选择题）和第 II 卷，共 4 页，满分分，考试时间分钟。注意事项：注意事项：1答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。2考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。3答案使用 05 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。4保持答题纸纸面清洁，不破损。考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回。 第第 I I 卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一、选择题：（一、选择题：（125125 分分=60=60 分）分）1.若,则“”是“”的（ ）Ra2a0)2)(1(aaA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2.已知向量， ，且与互相垂直，则 k（ ）)0 , 1 , 1 (a)2 , 0 , 1(bbakba 2A.1 B. C. D.1 53 57 53. 已知命题：，则（ ）paxbNx,A. B. :paxbNx,:paxbNx,C. D. :paxbNx,:paxbNx,4.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，1111DCBAABCD M11CA11DBaAB ，则下列向量中与相等的向量是（ ）bAD cAA 1BMA B.cba21 21cba21 21C. D.cba21 21cba21 21MC1CB1D1A1ABD5.以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；ba,ba,为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一, , ,O A B COCOBOA, , ,O A B C定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底。cba,cbaba, 其中正确的命题是（ ）A. B. C. D. 6若点 P 到直线的距离比它到点（2,0）的距离小 1，则点 P 的轨迹为（ ）1xA.圆 B.椭圆 C. 双曲线 D.抛物线7.设椭圆的离心率为，焦点在 x 轴上且长轴长为 30.若曲线上的点到椭圆的两个焦1C1572C1C点的距离的差的绝对值等于 10，则曲线的标准方程为（ ）2CA. B. C. D. 1252422 yx1242522 yx171522 yx1242522 yx8.“”是“方程表示双曲线”的（ ）.9k19422 ky kxA充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件9. 已知抛物线，过点)作倾斜角为的直线 ，若 与抛物线交于、两点，28yx(2, 0)A3llBC弦的中点到y轴的距离为（ ）BCPA. B. C. D. 10 316 332 38 310. 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原24xyF(10)M ，AO点，则三角形的面积为（ ） A. B. C. D.OAM12 3221232211. 和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以1F2F)0, 0( 12222 baby axABO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率1FOABF2为（ ） A. B. C.D.35253112. 设点是曲线上的点，则（ ）( , )P x y22 1259xy12( 4,0),(4,0)FFA. B. C. D. 1210PFPF1210PFPF1210PFPF1210PFPF第第 IIII 卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分） 二、填空题：（二、填空题：（4444 分分=16=16 分）分）13.命题“若则”的否命题是 ., 1a12a14. 已知向量.若与的夹角为，则实数 .)3, 0(),0, 1, 1 (kbaab60k15. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐22214xy b212yx近线的距离等于 .16.已知椭圆)0( 12222 baby ax的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若022BFMFMA，则该椭圆离心率的取值范围为 .三、解答题：（共三、解答题：（共 6 6 个小题个小题, ,共共 7474 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .）17.(12 分)已知命题 p：不等式的解集为 R，命题 q：是 R 上1) 1(2mxxmxf)25()(的增函数，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，求实数 m 的取值范围.18. (12 分) 如图，设 P 是圆x2y225 上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MDPD.4 5（）当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程；（）求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度4 519. (12 分)如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，OABCOAOBOC，1OA ，是的中点。2OBOCEOC （）求异面直线与所成角的余弦值；BEAC （）BE 和平面所成角的正弦值。ABC1F2FxyAOB20. (12 分)在平面直角坐标系O中，直线 与抛物线2相交于A、B两点。xyl2yx（）求证：命题“如果直线 过点T（3，0） ，那么3”是真命题；lOBOA （）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。21. (12 分)如图，三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1中点,平面 ABC1BB（）求证：AB1平面 A1BD； （）求二面角 AA1DB 的余弦值； （）求点 C 到平面 A1BD 的距离。22. (14 分)设椭圆)0( 1:2222 baby axC的左、右焦点分别为21FF、，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足211FFBF ，且2AFAB .（）求椭圆C的离心率；（）D 是过2FBA、三点的圆上的点，D 到直线033:yxl的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程； （）在（）的条件下，过右焦点2F作斜率为k的直线l与椭圆C交于NM、两点，在x轴上是否存在点)0 ,(mP使得以PNPM,为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的 取值范围，如果不存在，说明理由.南安一中南安一中 2012201220132013 学年度高二上学期期中考学年度高二上学期期中考数学科试卷参考答案数学科试卷参考答案一、选择题：一、选择题：（125 分=60 分）二、填空题：二、填空题：（45 分=20 分）13、若则 14、 15、 16、, 1a12a35 13, 0(三、解答题：三、解答题： 17.解：不等式的解集为 R，须 m11 即 q 是真命题，m22,555 所以异面直线BE与AC所成角的余弦为.52（2）设平面ABC的法向量为1( , , ),nx y z 则由11:20;nABnABxz 知由11:20.nACnACyz 知取1(1,1,2)n ，则，故 BE 和平面ABC的所成的角正弦值为303065012,cos1nEB303020、证明：（1）解法一：设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于A(3,)、B(3,)，=3。663OBOA当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x3),其中 k0.得 ky22y6k=0,则 y1y2=6. 又x1=y12, x2=y22, )3(22xkyxy 21 21=x1x2+y1y2=3. 综上所述, 命题“.”是真命题.OBOA212 21)(41yyyy解法二：设直线 l 的方程为 my=x3 与 y2=2x 联立得到 y2-2my-6=0 =x1x2+y1y2OBOA=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1) (-6)+3m2m+93（2）逆命题是：“设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果,那么该直线过点3OBOAT(3,0).”该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点 A(2,2),B(,1),此时=3,213OBOA直线 AB 的方程为 y= (x+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上.32点评：由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、B(x2,y2)满足,可得 y1y2=6。或 y1y2=2，如果3OBOAy1y2=6，可证得直线 AB 过点(3,0)；如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(1,0),而不过点(3,0)。21.解：（1）取BC中点O，连结AO ABC为正三角形，AOBC在正三棱柱111ABCABC中， 平面ABC平面11BCC B，AD平面11BCC B取11BC中点1O，以O为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为xyz，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B ，( 110)D ，1(0 23)A，(0 03)A ，1(12 0)B，1(123)AB，( 210)BD ，1( 123)BA ，12200AB BD A，111430AB BA A，1ABBD ，11ABBA 1AB平面1ABD（2）设平面1A AD的法向量为()xyz，n( 113)AD ，1(0 2 0)AA ，AD n，1AAn，100ADAA AA，nn30 20xyz y ， ，03yxz ，令1z 得(3 01) ，n由（1）知1AB 平面1ABD，1AB为平面1ABD的法向量二面角1AADB的余弦值为46222303,cos1ABn46（3）由（2） ，1AB为平面1ABD法向量，1( 2 0 0)(123)BCAB