第4章 磁流体力学n磁流体力学研究导电流体在电磁场中运动 规律的一种宏观理论。n因为等离子体可以看成导电流体，其运动通常 又和电磁场结合在一起，而等离子体的某些现 象或行为只与它的宏观平均性质有关，因此可 以近似地用磁流体力学来描写。n磁流体力学是把流体力学与电动力学结合起来 描述导电流体在电磁场中运动的一种理论，它 的基本方程式包括电动力学方程组和流体力学 方程组。等离子体的流体力学描述 及磁流体力学方程组 n等离子体的流体力学描述，通常是用体系的状 态量：流体元的质量密度 或数密度 速度 能量密度 或温度 等，这些状态量都是时间t 和t时刻流体元空间位置 r的函数。要研究这些状态量的时间演化规律， 需要建立流体力学方程组。n流体力学方程组可以从体系的动理学方程的矩 方程得到；从物理上比较直观的、唯象的方法 导出。现在应用前一种方法推导磁流体力学方 程组。4.1 速度矩及矩方程 1. 速度矩建立宏观与微观的联系n等离子体中包含有一种以上正电荷离子和电子 ，设类粒子的分布函数为 它满足动理学方程右边项简化为 ，表示各类粒子间碰撞引 起的分布函数变化。（1）速度矩定义：设 ，则速度矩定义为其中 为粒子数密度，符号 表示对速度分布求平均。（2）零阶、一阶、二阶和三阶矩（i）零阶矩质量密度或体密度 （ii）一阶矩流体平均速度n定义：表明w是无规热运动速度。（iii）二阶矩2阶张量，9个分量 n式中热压强张量n对角项n非对角项是对称的，只有3个独立分量：n如果体系处于局域热平衡状态，其分布函数为 局域性麦克斯韦分布 n用局域性麦克斯韦分布得的对角项就是热压强。n粒子系的总动能密度 第一项为单位体积流体平均运动动能，第二项 为热运动动能。 n定义：为对称张量，只有6个非对角项，3个分量是 独立的，其意义为粘滞应力张量。（iv）三阶矩有27个分量，但有明确物理意义的只有其中3个 分量： n定义：n各项意义：右为流体宏观流动带走的总动能 ；为流体宏观流动时压强张量做的功率，当 u=0时，这两项都为0；称热流矢量，即使 u=0，也存在，它是由碰撞产生的热量从高温 流体元到低温流体元的流动。 2. 速度矩方程n在动理学方程中的各项乘以 ，并对 积分 ，即可得到一般的速度矩方程。n第三项粒子受的力 n上式分部积分的第一项为0，这是因为边界条件 ：n对洛仑兹力项也可用分部积分方法计算，除边 界条件外，还有 n最后的一般速度矩方程： 4.2 等离子体的双流体力学方程 n一般的矩方程中，物理上有意义的只有零阶、 一阶、二阶三种矩，它们是与质量、动量、能 量守恒相联系的。对普通流体，这三种矩方程 可得到流体力学方程组。n对于等离子体，至少含有一种正离子和电子， 如果正离子和电子没有达到平衡，这样离子和 电子作为两种不同粒子，就相应有两种不同的 流体方程，称双体力学方程。 n在计算矩方程碰撞项的贡献时，假定没有粒子 的电离、复合等情况，即都只发生弹性碰撞。 （1）粒子数守恒方程（或连续性方程）令 得n连续性方程 因为只发生弹性碰撞，碰撞过程粒子数守恒，所 以碰撞项 令粒子质量m，则质量密度n质量守恒方程 （2）流体元运动方程令 ，一阶矩方程n注意：流体元以平均速度u 运动所受的洛仑兹 力 n碰撞项 R为摩擦阻力 n最后得流体元的运动方程 n利用粒子数守恒方程，流体元运动方程简化为n左边表示流体元动量变化率，n右边各项意义是流体元所受的力：nF为电磁场力， 是热压力， 是粘滞 力，R为粒子与不同粒子弹性碰撞后，粒子失去 的动量，即流体元受到一个摩擦阻力。注意同 类粒子弹性碰撞动量守恒，所以同类粒子间碰 撞对R无贡献。（3）能量平衡方程令由矩方程得最后两项是弹性碰撞的贡献 nQ是不同类粒子的弹性碰撞引起的能量交换， 因为弹性碰撞动能守恒，同类粒子间的碰撞无 贡献。n总动能守恒方程(能量平衡方程)n右从流体元表面流入的净能流；电场对流 体元做的功率即欧姆加热功率；碰撞摩擦阻 力做的功率；不同类粒子碰撞交换的能量。 n应用粒子数守恒方程、运动方程，能量平衡 方程简化为（热能平衡方程）n右方各项的物理意义：内摩擦（粘滞力）做 的功率；热传导；碰撞引起的热能交换。 如果，u=0则表明流体元的温度变化仅来源于热 传导和碰撞引起的热交换。n上面方程的简化计算并不难，但比较冗长。n令直接进行计算可能更简便些。但在计算中应当注意： n各项计算结果如下：n n第1项=0，因为第2项=0，因为 出现两次：n碰撞项n将以上各项计算结果代入矩方程就可以得到热 能形式的平衡方程 等离子体双流体方程组 n加上角标n受的力场：n其中nE0和B0是外场，E1和B1为等离子体本身的电荷 、电流产生的场，称为波场。波场是与双流体 方程耦合的麦克斯韦方程组确定。n波场满足麦克斯韦方程组：n由动理学方程求速度矩得到的双流体力学方程 组是严格的、精确的，但是它不封闭。在求每 一阶矩方程时，总含有更高一阶矩的分量，所 以无论如何增加矩方程的阶数，方程组都不可 能封闭。n在一定条件下，略去高阶矩，或高阶矩用低阶 矩表示，这样才能获得封闭的矩方程组。 n例如，对于冷等离子体，因热能很小，压强张 量和热流矢量都可以忽略，即 ， 这样高阶矩被截断，方程组可以闭合。另一种 情况，碰撞频繁或占优势，流体接近平衡的麦 克斯韦分布， 和 q 都是微小的量，可以用 Chapman-Enskog展开方法截断。方程组就可 封闭 。 封闭的双流体方程组n上面方程组中含有独立未知函数：n、u、 T(=i,e)共10个， 不是独立的，正好 方程数目也10个。 n波场E1、B1的麦克斯韦方程组，再加上电荷连 续性方程，E1与电流密度 j 的欧姆定律，这样 共有E1、B1 、e（电荷密度）、 j（电流密度） 共10个未知函数，而相应的也有确定这些函数 的10个方程。因此双流体方程组及与电磁场的 耦合共有20个方程，确定20个未知函数。n在双流体方程组中，如果只考虑外场作用，而 忽略波场E1、B1，这样就不需要与之耦合的麦 克斯韦方程组，于是就变成输运方程组。n如果忽略碰撞项，同时也不考虑粘滞力，而且 取 Ti=Te=常量,只考虑波场的作用，这样需保 留波场的麦克斯韦方程组，于是就得到描述等 离子体波的双流体方程组。 4.3 磁（单）流体力学方程 n当等离子体中的电子和离子之间有很强的耦合 ，电中性条件上总是满足，而且研究的问题随 时间变化很缓慢，离子、电子的流动速度都小 于离子热运动的速度，这样可以把电子、离子 看成一种流体，即单流体模型，它所满足的运 动方程组称单流体方程，或称磁流体力学方程 。n磁流体力学方程但可以从双流体方程组导得。 n定义单流体的宏观物理量：粒子数密度质量密度 电荷密度 质心速度 热运动速度n注意：热运动速度是以质心运动速度 u作参考 的 n注意：热运动速度是以质心运动速度 u作参考 的n压强张量对角项分量n总压强张量其中 （两种粒子温度相同 ）n热流矢量n总热流矢量 n单流体速度矩的表示式 （1）（2） （3）n根据以上定义和速度矩的计算结果，可以应用 双流体方程，对不同种类粒子求和得到单流体 方程。 n为了计算方便，双流体方程组取方程(1)乘上m，并对=i,e两式相加得n单流体的连续性方程 n类似方法，由方程（2）n得n因为总动量守恒n电中性n方程变为n最后得运动方程 由方程(3)求和得单流体能量平衡方程碰撞项（总动能守恒）方程左方第1项为流体元总能量的变化率；第2项 经流体元表面流出去的净能流，它分三个部分： 热传导流出的能量、流出的总能流和压强张量做 的功率，在右方为电场做的功率（欧姆加热）n现在求得的3个单流体方程，仍存在速度矩不封 闭问题。n对于单流体模型，等离子体行为变化更为缓慢 ，其特征时间远大于粒子间平均碰撞时间，因 而碰撞更加充分，使不同成分的流体元都处在 以质心运动速度为u的局部热平衡状态。因此可 以应用局域性平衡的麦克斯韦速度分布零级近似得n如果实际分布函数与平衡态偏离不远，结果仍 近似成立，这样单流体方程组就是封闭的。n能量方程简化，计算是繁琐的，这里省略，其结 果为n两边再乘以 后得单流体能量方程n运动导体的欧姆定律为n再加上电磁场中麦克斯韦方程组，最后得磁（单 ）流体力学方程组 磁（单）流体力学方程组 n共有14个方程和需要由方程确定的，u，p，j， E，B等14个未知物理量，所以方程组是闭合的 。n现在对这些基本方程式作一些说明。在运动方程 和能量方程中是运流导数，即跟随流体元运动的时间微分算 符n在麦克斯韦方程组中，因为在磁流体中场的变化 比较缓慢，忽略了位移电流项；如果场的变化较 快，则位移电流项要保留。两个散度方程只作为 初始条件，在这里没有被列入。在有些问题中， 由于正负电荷分离，破坏了电中性，存在空间电 荷密度，则方程应保留 。这样增加了一 个方程，相应地也增加了一个未知量电荷密度。理想磁流体力学方程组 n无粘滞性、绝热、理想导体（ ）4.4 磁压强与磁应力n单位体积导电流体所受的磁力其中称麦克斯韦应力张量（磁场部分）。在等离子体物理中称磁应力张量n磁力的一种新解释。取一体积V n磁力的一种新解释。取一体积Vn式中代表法向矢量为n的单位面元上的应力，称磁 应力，其中第1项表示沿磁力线方向、大小B2/0 为的张力，第2项是大小为B2/20 、方向与n相反 的各向同性的磁压强，因此流体所受的磁力等 效于各向同性的磁压强（B2/20）和沿磁力线方 向张力（B2/0）之和。n磁力线好像拉紧的橡皮筋，沿力线方向是张力 ，磁场增强张力也增大。如果磁力线是弯曲的 ，这个张力就可产生一指向磁力线曲率中心的 恢复力。n在运动方程中考虑动力压强作用，流体总的受 力n新定义的 为流体所受的总的应力张量。n如果B沿z轴方向，则总应力张量可以表示为n磁流体所受的总应力为各向同性的总压强p*和 沿磁力线方向的张力 n流体热压强与磁压强之比是磁流体力学一个重 要无量纲参量，称值n值反映了磁约束的性能，值越高，实现约束的代价就越低，同时值也反映等离子体物理状况。 4.5 磁场的冻结与扩散 n导电流体与磁场相互作用的重要性质磁场 的冻结与扩散效应。由麦克斯韦方程组欧姆定律消去 j ，得n两边求旋度，并假设 为常数，得称感应方程 量纲与流体力学中的粘滞系数相同，所以称 为磁粘滞系数。 n下面分两种极端情况，分别讨论感应方程右方 两项的物理意义。 1. 磁场的冻结 n假设等离子体是理想导体，则感应方程变为称为冻结方程。因为由这个方程可以证明如下 两条定理：n定理1 通过和理想导电流体一起运动的任何封 闭回路所围曲面的磁通量是不变的。n定理2 在理想导电流体中，起始位于一根磁力 线上的流体元，以后也一直处在这根磁力线上 。 n定理1 证明：任意取一与流体一起运动的回路 C，回路上的线元dl与流体一起运动时，单位时 间切割磁力线引起的磁通变化为随流体一起运动时，闭合回路C所围面积的磁通量变化率n得证（等于零是利用了冻结方程 ）n定理1表明：不管外界磁场如何变化，随着理想 导电流体一起运动的任何闭合回路所围的磁力 线数目是不变的。n定理2 证明：由冻结方程n应用连续性方程和得改写为上式结果的意义，实际上是证明了定理2。下面进行说明： 设在一根磁力线上取一流体物质线元 ，线元一