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2003-2004 学年第二学期高等数学 B(下) 期终试卷-1 高等数学高等数学 B(下)期终考试试卷评分标准(下)期终考试试卷评分标准 2004 年 7 月 一.填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1. 函数),(yxf在点()00, yx处有偏导数()00, yxfx,()00, yxfy的充分条件是 C . (A),(yxf在()00, yx处连续 (B),(yxf在()00, yx处沿l方向有lf (C)),(yxf在()00,yx处可微 (D)()00,yxfxy存在 2. 设曲面由曲线 =+0122322zyx,绕y轴旋转而成,则在点()2, 3, 0处指向外侧的单位法向量为 53,52, 0. 3. 设函数),(yxf连续,且+=Ddyxfxyyxf),(),(,其中D:20 x,10y,则= Ddyxf),( A . (A)1 (B)0 (C)1 (D)2 4. 设曲线的方程为tx=,2ty=,3tz=,若上与平面0=+dczbyax平行的切线恰有 2 条,则cba,应满足关系式032 acb()0c. 5. 设L是 以()0,1A,()0,1B,()1,0C为 顶 点 的 三 角 形 的 正 向 边 界 , 则()()=+ Ldyxxdxyxy222 1 . 6. 设)(xf是 周 期 为2的 周 期 函 数 , 它 在 区 间1, 1(上 的 表 达 式 是=,1,1,),(22yxyyyxyxf计算二重积分=DdyxfI),(,其中D是由双曲线122=yx及直线0=y,2=y所围成的平面区域. 2003-2004 学年第二学期高等数学 B(下) 期终试卷-3解 +=2211210yydxxydyI+2211221yyydxxdy 由对称性,02211210=+yydxxydy +2211221yyydxxdy()+=2123 2132dyyy()2125 21152 +=y ()24525152= 即()24525152=I 五.(10 分)设是由旋转面:()22lnyxz+=与平面hzz=,0(0a,讨论=+1!)()2)(1 (nnananaaa?的收敛性. 解 记nnananaaaa!)()2)(1 (+=?, aanan aannnn1 ) 1(1limlim1=+= +当1a时,级数收敛; 当1a时,级数发散; 当1=a时,1+= nan,级数发散. 2.(8 分)把函数xxxf+=11arctan)(展开成x的幂级数,并指出展开式成立的区间 解 211)(xxf+= =02) 1(nnnx(11x) 4)0(=f,=+ +=012 12) 1( 4)(nnn xnxf11x 八(A) (8 分)用高等数学教材者解答用高等数学教材者解答 设函数)(xf有二阶连续的导数,且满足0)0(=f,1)0(= f. 如果对任意闭曲线L,积分 0)()(2=+ Ldyxfdxyxfx试求)(xf. 解 由条件xQ yP =,得微分方程 2xff=+ , 2003-2004 学年第二学期高等数学 B(下) 期终试卷-5特征方程的根ir=,令cbxaxf+=2*,代入方程, 得 1=a,0=b,2=c. 故 2sincos)(2 21+=xxCxCxf xxCxCxf2cossin)(21+=) ,代入初始条件,解得21=C,12=C, 2sincos2)(2+=xxxxf 八(B) (8 分)用微积分教材者解答用微积分教材者解答 设直线L: =+=+ ,3, zyaxbyx在平面上,而是曲面22yxz+=上点()5 , 2 , 1处的切平面. 求a与b之值. 解法一 的法向量()1, 4 , 2=n?的方程0542=+zyx(*) L的方向()a=1,1,1?由n?,得1=a 在L上取点()3,0bb代入(*)得32=b. 解法二 的法向量()1, 4 , 2=n?过L的平面束:03)1 ()1 (=+bzyxa(*) nn?|,令141 21 =+=+a, 得31=,1=a 又点()5 , 2 , 1,有03)6(=+ba, 代入1=a,31=,得32=b
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