概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8. 掷 3 枚硬币, 求出现 3 个正面的概率. 解: 设事件 A=出现 3 个正面 基本事件总数 n=23, 有利于 A 的基本事件数 nA=1, 即 A 为一基本事件, 则125. 081 21)(3=nnAPA. 9. 10 把钥匙中有 3 把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件 A=能打开门, 则A为不能打开门 基本事件总数, 有利于2 10Cn =A的基本事件数2 7CnA=, 467. 0157 91021 2167)(2 102 7=CCAP 因此, 533. 0467. 01)(1)(=APAP. 10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概 率是多少? 解: 设 A=能打开门, 基本事件总数2412344= Pn, 有利于 A 的基本事件数为, 2=An因此, 0833. 0121)(=nnAPA. 11. 100 个产品中有 3 个次品,任取 5 个, 求其次品数分别为 0,1,2,3 的概率. 解: 设 Ai为取到 i 个次品, i=0,1,2,3, 基本事件总数, 有利于 Ai的基本事件数为 5 100Cn =3 , 2 , 1 , 0,5 973=iCCnii i则 00006. 0983351219697 9697989910054321)(006. 098335953219596973 9697989910054321)(138. 098332094954321949596973 96979899100543213)(856. 0334920314719 969798991009394959697)(5 1002 973 35 1003 972 32 25 1004 971 15 1005 970 0=CC nnAPCCC nnAPCC nnAPCC nnAP12. N 个产品中有 N1个次品, 从中任取 n 个(1nN1N), 求其中有 k(kn)个次品的概率. 解: 设 Ak为有 k 个次品的概率, k=0,1,2,n, 基本事件总数, 有利于事件 Ak的基本事件数,k=0,1,2,n, n NCm =kn NNk NkCCm = 11因此, nkCCCmmAPn Nkn NNk Nk k, 1 , 0,)(11L= 13. 一个袋内有 5 个红球, 3 个白球, 2 个黑球, 计算任取 3 个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设 A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数, 有利于 A 的基本事件数为, 3 10Cn =1 21 31 5CCCnA=则25. 0412358910321)(3 101 21 31 5=CCCC nnAPA14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封 信的概率. 解: 设 A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数, 1644=n有利于 A 的基本事件数422=An, 有利于 B 的基本事件数632=Bn, 则25. 041 164)(=nnAPA375. 083 166)(=nnBPB. 15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为 0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产 品的合格率. 解: 设事件 A1为一等品, A2为二等品, B 为合格品, 则 P(A1)=0.8, P(A2)=0.16, B=A1+A2, 且 A1与 A2互不相容, 根据加法法则有 P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.96 16. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设 B 为总数超过一角, A1为 5 个中有两个 5 分, A2为 5 个中有一个 5 分三个 2 分一个 1 分, A3为 5 个中有一个 5 分两个 2 分两个 1 分, 则 B=A1+A2+A3, 而 A1,A2,A3互不相容, 基本事件总数2527623543216789105 10= Cn 设有利于 A1,A2,A3的基本事件数为 n1,n2,n3, 则 5 . 0252126 252601056)(,60214532,1052,563216782 52 31 231 53 31 223 82 21=+=BPCCCnCCCnCCn17. 求习题 11 中次品数不超过一个的概率. 解: 设 Ai为取到 i 个次品, i=0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则 B=A0+A1, A0与 A1互不相容, 则根据 11 题的计算结果有 P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.994 19. 由长期统计资料得知, 某一地区在 4 月份下雨(记作事件 A)的概率为 4/15, 刮风(用 B 表 示)的概率为 7/15, 既刮风又下雨的概率为 1/10, 求 P(A|B), P(B|A), P(A+B). 解: 根据题意有 P(A)=4/15, P(B)=7/15, P(AB)=1/10, 则 633. 03019 303814 101 154 157)()()()(275. 083 15/410/1 )()|(214. 0143 15/710/1 )()()|(=+=+=+=+=ABPBPAPBAPAPPABABPBPABPBAP20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统 A 与 B, 每种系统单独使用时, 其有效的概 率系统 A 为 0.92, 系统 B 为 0.93, 在 A 失灵的条件下, B 有效的概率为 0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率 解: 设 A 为系统 A 有效, B 为系统 B 有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, 85. 0)|(=ABP (1) 两个系统至少一个有效的事件为 A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即BABA=+, 而15. 085. 01)|(1)|(=ABPABP, 则 988. 0012. 01)(1)(012. 015. 008. 015. 0)92. 01 ()|()()(=+=BAPBAPABPAPBAP(2) B 失灵条件下 A 有效的概率为)|(BAP, 则 829. 093. 01012. 01)()(1)|(1)|(=BPBAPBAPBAP 21. 10 个考签中有 4 个难签, 3 人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最 后, 证明 3 人抽到难签的概率相等. 证: 设事件 A,B,C 表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然 P(A)=4/10, 而由 9030 95 106)|()()(9024 96 104)|()()(9024 94 106)|()()(9012 93 104)|()()(=ABPAPBAPABPAPBAPABPAPBAPABPAPABP由于 A 与A互不相容,且构成完备事件组, 因此BAABB+=可分解为两个互不相容事件的并, 则有 104 9036 902412)()()(=+=+=BAPABPBP 又因BABABAAB,之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有 CBACBABCAABCC+=分解为四个互不相容的事件的并, 且 720120 84 9030)|()()(72072 83 9024)|()()(72072 83 9024)|()()(72024 82 9012)|()()(=BACPBAPCBAPBACPBAPCBAPBACPBAPBCAPABCPABPABCP则104 720288 720120727224()()()()(=+=+=CBAPCBAPBCAPABCPCP因此有 P(A)=P(B)=P(C), 证毕. 22. 用 3 个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为 0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工 的零件为合格品的概率分别等于 0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率. 解: 设 A1,A2,A3零件由第 1,2,3 个机床加工, B 为产品合格, A1,A2,A3构成完备事件组. 则根据题意有 P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2, P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.9, P(B|A3)=0.95, 由全概率公式得全部产品的合格率 P(B)为 93. 095. 02 . 09 . 03 . 094. 05 . 0)|()()(31=+=iiiABPAPBP 23. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛 又取出 3 个, 求第二次取到的 3 个球中有 2 个新球的概率. 解: 设 A0,A1,A2,A3为第一次比赛取到了 0,1,2,3 个新球, A0,A1,A2,A3构成完备事件组. 设 B 为第二次取到的 3 个球中有 2 个新球. 则有 22962156 101112321)|(,5521 32101112789321)(,442152167 101112321)|(,5527 2101112389321)(,552842178 101112321)|(,22027 10111239321)(,552732189 101112321)|(,2201 101112321)(3 121 62 6 33 123 9 33 121 52 7 23 121 32 9 23 121 42 8 13 122 31 9 13 121 32 9 03 123 3 0=CCCABPCCAPCCCABPCCCAPCCCABPCCCAPCCCABPCCAP根据全概率公式有 455. 01562. 02341. 00625. 00022. 0229 5521 4421 5527 5528 22027 5527 2201)|()()(30=+=+=iiiABPAPBP24. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率 为 0.06, 乙厂每箱装 120 个, 废品率是 0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率; (2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设 B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设 A 为取到甲厂的箱, 则 A 与A构成完备事件组 056. 005. 04 . 006. 06 . 0)|()()|()()(05. 0)|(,06. 0)|(4 . 05020)(, 6 . 05030)(=+=+=ABPAPABPAPBPABPABPAPAP(2) 设 B 为开箱混放后任取一个为废品的事件. 则甲厂产品的总数为 30100=3000 个, 其中废品总