1排列组合的常见模型排列组合的常见模型一、基础知识：（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品，3 件次品。从这 10 件产品中任意抽出 3 件，至少有一件次品的情况有多少种3、先取再排（先分组再排列）：排列数m nA是指从n个元素中取出m个元素，再将这m个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。例如：从 4 名男生和 3 名女生中选3 人，分别从事 3 项不同的工作，若这 3 人中只有一名女生，则选派方案有多少种。二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台” ，不相邻元素进行“插空”，然后再进行各自的排序注：（1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序例如：有 6 名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法3、错位排列：排列好的n个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称为这2n个元素的一个错位排列。例如对于, , ,a b c d，则, , ,d c a b是其中一个错位排列。3 个元素的错位排列有 2 种，4 个元素的错位排列有 9 种，5 个元素的错位排列有 44 种。以上三种情况可作为结论记住例如：安排 6 个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数有多少种？4、依次插空：如果在n个元素的排列中有m个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m个元素排好位置，再将nm个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元素可选择的空1）例如：已知, , , ,A B C D E F6 个人排队，其中, ,A B C相对位置不变，则不同的排法有多少种5、不同元素分组：将n个不同元素放入m个不同的盒中6、相同元素分组：将n个相同元素放入m个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有1 1m nC 种。解决此类问题常用的方法是“挡板法” ，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这n个元素排成一列，共有1n 个空，使用1m 个“挡板”进入空档处，则可将这n个元素划分为m个区域，刚好对应那m个盒子。例如：将 6 个相同的小球放入到 4 个不同的盒子里，那么 6 个小球 5 个空档，选择 3 个位置放“挡板” ，共有_ 种可能7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色” ，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况） ，先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂色方案有多少种？二、典型例题：例 1：某电视台邀请了 6 位同学的父母共 12 人，请 12 位家长中的 4 位介绍对子女的教育情况，如果这 4 位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少3例 2：某教师一天上 3 个班级的课，每班上 1 节，如果一天共 9 节课，上午 5 节，下午 4 节，并且教师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上） ，那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（ ）A. 474种 B. 77种 C. 462种 D. 79种例 3：2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）A. 60 B. 48 C. 42 D. 36例 4：某班班会准备从甲，乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲，乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ）A. 360 B. 520 C. 600 D. 720例 5：从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu” （其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有_种例 6：设有编号1,2,3,4,5的五个茶杯和编号为1,2,3,4,5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ）A. 30 种 B. 31 种 C. 32 种 D. 36 种例 7：某人上 10 级台阶，他一步可能跨 1 级台阶，称为一阶步，也可能跨 2 级台阶，称为二阶步；最多能跨 3 级台阶，称为三阶步，若他总共跨了 6 步，而且任何相邻两步均不同阶，则此人所有可能的不同过程的种数为（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12例 8：某旅行社有导游 9 人，其中 3 人只会英语，2 人只会日语，其余 4 人既会英语又会4日语，现要从中选 6 人，其中 3 人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法有_种例 9：如图，用四种不同颜色给图中, , , ,A B C D E F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A. 288种 B. 264种 C. 240种 D. 168种例 10：有 8 张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列，要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有（ ）A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种