Matematica e architetturadi Francesco BitelliClasse IV E a.s. 2005-06Il legame tra matematica ed architettura evidente: larchitettura regolata da dimensioni e le dimensioni sono espresse da numeri. Pantheon, Roma, 27 a. C.Chiesa di Chiaravalle della Colomba (PC), XII sec. Kaufmann House a Bear Run, la “casa sulla cascata”, F. L. Wright, 1936.La matematica si esprime nellarchitettura tramite canoni proporzionali e schemi costruttivi come nel caso della sezione aurea, gi nota agli antichi, o della teoria dei frattali. Le piramidi di Giza sono state costruite secondo la sezione aurea, anche se, come affermano molti storici, impossibile che, al tempo, questo canone proporzionale fosse conosciuto. La matematica e larchitettura, infine, sono sistemi di simboli il cui fine lespressione di idee o concetti, come linfinito o lidentit. F. L. Wright Guggheneim Museum, BilbaoOvviamente, in campo architettonico, bisogna tenere conto delle problematiche pratiche che possono influenzare la scelte dellarchitetto.Nella maggior parte dei casi, le teorie matematiche trovano in architettura unespressione solamente visiva e intuitiva senza fondarsi su basi teoriche rigorose.Fin dallantichit, da quando larchitettura divenuta arte, luomo ha cercato di creare opere sempre pi perfette, ricorrendo, per il conseguimento di questo scopo, alla matematica ed alla geometria.“La Scuola di Atene” di Raffaello.La culla di questa nuova concezione dellarchitettura fu indubbiamente lAntica Grecia. Qui alle tecniche costruttive iniziarono ad associarsi le numerose teorie matematiche che si andavano sviluppando.In particolare, il pi stretto legame tra architettura e matematica rappresentato dalla sezione aurea, ancora oggi considerata uno dei pi importanti canoni di bellezza e proporzione.La sezione aureaab1Definizione: Dato un segmento di lunghezza 1, diviso in due segmenti a e b, il rapporto tra a e b uguale al rapporto tra a e la lunghezza totale del segmento.a:b=1:aConsiderando x la lunghezza del segmento maggiore, avremo quindi: (1-x):x=x:1, 1-x=x2.Le soluzioni sono: x=(-1- 5)/2 e x=( 5-1)/2. x1-x1La prima soluzione negativa, per cui non soddisfa le condizioni del problema. La seconda rappresenta proprio il rapporto di sezione aurea che un numero irrazionale corrispondente a circa 0,618. La sezione aurea fu inizialmente studiata dai Pitagorici. Essi avevano come segno di riconoscimento una stella a cinque punte (pentagramma) che si ottiene a partire dal decagono regolare inscritto in una circonferenza congiungendo un vertice s e uno no. I lati della stella hanno la propriet di intersecarsi sempre secondo la sezione aurea.Come si costruisce geometricamente la sezione aurea? Disegnare il segmento e condurre la perpendicolare da un estremo, di lunghezza corrispondente alla met del segmento dato. Congiungere i due estremi del segmento in modo da ottenere un triangolo rettangolo. Con un compasso disegnare un arco di raggio corrispondente al cateto del triangolo, fino ad incontrare lipotenusa. Disegnare un arco puntando il compasso sullaltro vertice con angolo acuto, dal punto in cui il primo arco taglia lipotenusa gi fino alla base. La base risulta cos divisa in due parti che sono in rapporto di sezione aurea. I numeri di Fibonacci e la sezione aureaLeonardo Fibonacci, matematico pisano, ricordato per la sua sequenza, risalente al 1202.La successione di Fibonacci si compone di numeri di cui ogni termine equivale alla somma dei due termini immediatamente precedenti:E da notare il fatto che il rapporto tra due termini successivi si avvicina molto rapidamente a 0,61, il rapporto di sezione aurea (1:2=0,500; 2:3=0,667; ; 13:21=0,619; 21:34=0,618)0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, Anche in natura possibile ritrovare forme che seguono la sequenza di Fibonacci e quindi il rapporto di sezione aurea.E il caso del Nautilus e di altre conchiglie a spirale:La sezione aurea nella civilt grecaLa civilt greca classica tent di unificare tutte le arti e le scienze secondo rapporti armonici. Questa ricerca di armonia tesa al raggiungimento della divina proporzione si espletava, oltre che nellarte, nellorganizzazione della societ civile.Nellarte, e in particolare nellarchitettura, i greci fecero largo uso della sezione aurea. In realt, probabile che lutilizzo di questo principio proporzionale, di cui gi i Babilonesi e gli Egizi pare conoscessero lesistenza, non fosse cosciente. Perfino nelle anfore, il rapporto tra il diametro maggiore e il diametro minore era spesso di 1:0,618, un rapporto di sezione aurea.Nei templi greci, il rapporto tra la lunghezza e larghezza era di preferenza 1:0,618. Anche nel timpano si seguivano canoni di proporzione. Esso era un triangolo isoscele avente un angolo al vertice di 108. Vediamo di seguito un celebre esempio di opera in cui si possono riscontrare