有限差分法、有限元法、有限体积法等离散方法介绍 有限差分法、有限元法、有限体积法等离散方法介绍 www.Efluid.comwww.Efluid.com.cncn & & www.Cfluid.comwww.Cfluid.com yjs808 yjs808 一、有限差分方法（一、有限差分方法（F Finite inite D Difference ifference MMethod, ethod, FDMFDM） 有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方 法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法 以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代 替进行离散，从而 建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一 种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是 发展较早且比较成熟的数值方法，较多用于求解双曲型和抛物型问题。用它求解 边界条件复杂，尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。 对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格 式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和迎风格式。考虑时间因子的影 响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格 式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主 要适用于有结构网格， 网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决 定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本 的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和 二阶中心差分等， 其中前两种格式为一阶计算精度， 后两种格式为二阶计算精度。 通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格 式。 二、有限元方法（二、有限元方法（F Finite inite E Element lement MMethod,ethod, FEM FEM） 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是：把计算域 划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函 数的插值点， 将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的 插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求 解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 有限元方法最早应用于结构力学， 后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学 的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接 的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真 解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算 域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 在数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里 兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限 元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二 乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和 多边形网格， 从插值函数的精度来划分， 又分为线性插值函数和高次插值函数等。 不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是 将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内- 1 -积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域 内选取 N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上 令方程余量为 0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数 或指数函数组成的乘 积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分 为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日 (Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插 值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值 。单元坐标有笛卡尔直角坐标 系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因 次坐标是一种局部坐 标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三 维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等 参元 的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有 Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标 系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为：(1) 建立积分方程，根 据变分原理或方程余量与权函数正交化原理， 建立与微分方程初边值问题等价的 积分表达式，这是有限元法的出发点。(2) 区域单元剖分，根据求解区域的形状 及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干 相互连接、不重叠的单元。区域单 元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工 作量比较大，除了给计算 单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节 点的位置坐标， 同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。 (3) 确定单 元基函数， 根据单元中节点数目及对近似解精度的要求， 选择满足一定插值条 件 的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各 单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。(4) 单元分析： 将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近； 再将近似函 数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节 点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。(5) 总体合成：在得出单元 有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进 行累加，形成总 体有限元方程。(6) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界 条件(狄里克雷边界条件 )、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西 边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本 质边界条件和混合边界条件，需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。 (7) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知 量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 有限元法对椭圆型问题有很好的适应性。有限元法求解的速度比有限差分法和 有限体积法慢， 在商用CFD软件中应用并不广泛。 目前的商用CFD软件中， FIDAP 采用的是有限元法。 三、有限体积法（三、有限体积法（F Finite inite V Volume olume MMethod, ethod, FVMFVM） 有限体积法又称为控制体积法。其基本思路是：(1)将计算区域划分为一系 列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；(2)将待解的微分 方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的 因变量的数值。 为了求出控制体积的积分， 必须假定值在网格点之间的变化规律， 即假设值的分段分布的分布剖面。 - 2 -从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权剩余法中的子区域法；从未 知解的近似方法看来，有限体积法属于采用局部近似的离散方法。简言之，子区 域法属于有限体积发的基本方法。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直 接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守 恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限 体积法得出的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满 足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些 离散方法，例如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒； 而有限体积法即使在粗网格情况下， 也显示出准确的积分守恒。 就离散方法而言， 有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。 有限单元法必须假定值在 网格点之间的变化规律（既插值函数） ，并将其作为近似解。有限差分法只考虑 网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。 有限体积法只寻求网格点的 结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须 假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值 函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果 需要的话，可以对微分方程中不同的项采取不同的插值函数。就离散方法而言， 有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。 四、有限分析法 ( 四、有限分析法 ( F Finite inite A Analysis nalysis MMethod, ethod, FAM FAM ) ) 有限分析法是由陈景仁于 1981 年提出的一种数值方法，对求解对流扩散型方程 有较好的效果。 该格式具有迎风性， 并有希望与奇异摄动法配合求解高Re数问题。 基本思想是：方程在整个求解域内一般难以找到解析解，但在局部区域内，当区 域足够小，域内方程可由一常系数方程逼近时，可以近似地找到精确解，由此建 立该解的中心点值和周围节点值的关系，即离散化方程，对于每一个小区域都建 立这样的关系，就得到了一个大型方程组，求解后即可得到方程的数值解。 同有限差分法一样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻 8 个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线性项局部线性化，并对该单元上 未知函数的变化作出假设， 把所选定表达式中的系数和常数项用单元边界节点上 未知的变量值来表示， 这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一 个定解问题，可以找出分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中心点及边界 上 8 个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中心点的离散方程。 五、边界元法 ( 五、边界元法 ( B Boundary oundary E Element lement MMethod, ethod, BEM BEM ) ) 上面四种方法都必须对整个区域作离散化处理， 用分布在整个区域上的有限 个节点上函数的近似值来代替连续问题的解。在边界元方法中应用格林函数公 式， 并通过选择适当的权函数把空间求解域的偏微分方程转换成为其边界上的积 分方程，它把求解区中任一点的求解变量(如温度)与边界条件联系了起来。通过 离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知 值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。 边界元法的最 大优点是，可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算 机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分 方程的格林函数基本解。虽然对不少偏微分方程这种基本解业已找出，但对- 3 -六、六、格子-玻尔兹幔方法 ( 格子-玻尔兹幔方法 ( L Lattice-attice-B Boltzmann Method, oltzmann Method, LBMLBM ) ) 格子-玻尔兹幔方法是 20 世纪 80 年代中期出现并迅速发展起来的一种新的流体 数值模拟方法。因其算法简单、计算效率高、并行性好以及能够模拟复杂边界条 件等优点而受到广泛关注，并且已经在众多的领域取得了成功的运用，从简单的 层流到复杂的湍流、多相流、热流动。 格子-玻尔兹幔方法是基于分子运动论的一种模拟流体流动的数值方法。在 上述各种数值方法中，把本质上是离散的介质先假定是连续的，在此基础上建立 起了N-S方程，然后又再把它离散化。在LMB中不再基于连续介质的假设，而是 把流体看成是许多只有质量没有体积的微粒所组成， 这些微粒可以向空间若干个 方向任意运动。通过其质量、动量守恒的原理，建立起表征质点在给定的时刻位 于空间某一个位置附近的概率密度函数。 再通过统汁的方法来获得质点微粒的概 率密度分布函数与宏观