3.5 3.5 3.5 3.5 回归模型的其他函数形式回归模型的其他函数形式 一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例二、非线性回归实例 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。 如著名的恩格尔曲线恩格尔曲线恩格尔曲线恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂幂幂幂函数曲线函数曲线函数曲线函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线菲利普斯曲线菲利普斯曲线菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线双曲线双曲线双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。 一、模型的类型与变换一、模型的类型与变换 1 1 1 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线拉弗曲线：抛物线 s = a + b r + c r2 c0 s：税收； r：税率设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c0 2 2 2 2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKLQ：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L3 3 3 3、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法、复杂函数模型与级数展开法 方程两边取对数后，得到： eLKAQ1)(21+=(1+2=1) Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数+=)(211LKLnLnALnQ例如例如，常替代弹性CES生产函数 将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得 22121ln21lnlnlnln+=LKmLmKmAY并非所有的函数形式都可以线性化并非所有的函数形式都可以线性化 无法线性化模型的一般形式为:+=),(21kXXXfY其中，f(x1,x2,Xk)为非线性函数。如：+=LAKQ 二、非线性回归实例二、非线性回归实例 例例3.5.13.5.13.5.13.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。 根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为 ),(01PPXfQ=Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 零阶齐次性零阶齐次性零阶齐次性零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变 )/,/(010PPPXfQ=(*)(*)为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（为了进行比较，将同时估计（* * * *）式与（）式与（）式与（）式与（* * * * * * *）式。）式。）式。）式。 根据恩格尔定律恩格尔定律恩格尔定律恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数幂函数的变化关系: 首先,确定具体的函数形式32101PPAXQ=对数变换: +=031210lnlnln)ln(PPXQ考虑到零阶齐次性零阶齐次性零阶齐次性零阶齐次性时时+=)/ln()/ln()ln(012010PPPXQ(*)(*)(*)式也可看成是对（*）式施加如下约束而得0321=+因此，对（对（对（对（* * * * * * * * * * * * *）式进行回归，就意味着原需）式进行回归，就意味着原需）式进行回归，就意味着原需）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件求函数满足零阶齐次性条件求函数满足零阶齐次性条件求函数满足零阶齐次性条件。表表 3.5.13.5.13.5.13.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数中国城镇居民消费支出（元）及价格指数 X (当年价) X1 (当年价) GP (上年=100) FP (上年=100) XC (1990年价) Q (1990年价) P0 (1990=100) P1 (1990=100) 1981 456.8 420.4 102.5 102.7 646.1 318.3 70.7 132.1 1982 471.0 432.1 102.0 102.1 659.1 325.0 71.5 132.9 1983 505.9 464.0 102.0 103.7 672.2 337.0 75.3 137.7 1984 559.4 514.3 102.7 104.0 690.4 350.5 81.0 146.7 1985 673.2 351.4 111.9 116.5 772.6 408.4 87.1 86.1 1986 799.0 418.9 107.0 107.2 826.6 437.8 96.7 95.7 1987 884.4 472.9 108.8 112.0 899.4 490.3 98.3 96.5 1988 1104.0 567.0 120.7 125.2 1085.5 613.8 101.7 92.4 1989 1211.0 660.0 116.3 114.4 1262.5 702.2 95.9 94.0 1990 1278.9 693.8 101.3 98.8 1278.9 693.8 100.0 100.0 1991 1453.8 782.5 105.1 105.4 1344.1 731.3 108.2 107.0 1992 1671.7 884.8 108.6 110.7 1459.7 809.5 114.5 109.3 1993 2110.8 1058.2 116.1 116.5 1694.7 943.1 124.6 112.2 1994 2851.3 1422.5 125.0 134.2 2118.4 1265.6 134.6 112.4 1995 3537.6 1766.0 116.8 123.6 2474.3 1564.3 143.0 112.9 1996 3919.5 1904.7 108.8 107.9 2692.0 1687.9 145.6 112.8 1997 4185.6 1942.6 103.1 100.1 2775.5 1689.6 150.8 115.0 1998 4331.6 1926.9 99.4 96.9 2758.9 1637.2 157.0 117.7 1999 4615.9 1932.1 98.7 95.7 2723.0 1566.8 169.5 123.3 2000 4998.0 1958.3 100.8 97.6 2744.8 1529.2 182.1 128.1 2001 5309.0 2014.0 100.7 100.7 2764.0 1539.9 192.1 130.8 X：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数XC：人均消费（90年价）Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P：居民食品消费价格缩减指数（1990=1002004006008001000120014001600180082848688909294969800Q中中国国城城镇镇居居民民人人均均食食品品消消费费 特征：特征：消费行为在19811995年间表现出较强的一致性1995年之后呈现出另外一种变动特征。 建立19811994年中国城镇居民对食品的消费需求模型: )ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQ+= (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34) 按按零阶齐次性零阶齐次性零阶齐次性零阶齐次性表达式回归表达式回归: :)/ln(09. 0)/ln(07. 183. 3)ln(010PPPXQ+= （75.86）(52.66) (-3.62) 为了比较，改写该式为： 01010ln98. 0ln09. 0ln07. 183. 3)ln(ln09. 0)ln(ln07. 183. 3lnPPXPPPXQ+=+=)ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQ+=发现与接近。意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征