13.1.13.1.1 空间向量的线性运算空间向量的线性运算1熟悉向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念(难点)2掌握空间向量的加法、减法运算(重点)3掌握空间的数乘运算(重点)基础初探教材整理 1 空间向量的概念阅读教材 P79“空间向量的概念”部分，完成下列问题.名称定义空间向量在空间中，具有_和_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_单位向量长度或模为_的向量零向量_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量_相反且_相等的向量【答案】大小 方向 长度(模) 1 起点与终点重合 相同 相等 方向 模判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)在空间中，单位向量唯一( )(2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移( )(3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算( )【答案】 (1) (2) (3) (4)教材整理 2 空间向量的线性运算阅读教材 P79P81，完成下列问题1(1)空间向量的加法、减法运算(如图 311)2图 311_；_.OBOAABCAOAOC(2)运算律：a ab b_；(a ab b)c c_.【答案】 (1)a ab b a ab b (2)b ba a a a(b bc c)2空间向量的数乘运算(1)定义：实数与空间向量a a的乘积_仍然是一个_，称为向量的数乘运算(2)运算律：(a ab b)_；(a a)_.【答案】 (1)a a 向量 (2)a ab b ()a a给出下列命题：若空间向量a a，b b满足|a a|b b|，则a ab b；若空间向量m m，n n，p p满足m mn n，n np p，则m mp p；空间中任意两个单位向量必相等其中正确的个数为( )A4 B3 C2 D1【解析】 根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但中向量a a与b b的方向不一定相同，故错；命题显然正确； 对于命题，空间中任意两个单位向量的模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错故选 D.【答案】 D质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_小组合作型3空间向量的有关概念(1)下列说法正确的是( )A若|a a|0，a a0 时，a a与a a的方向一定相同；0，a a0 时，a a与a a的方向一定相反其中正确的个数是( )A1 B2 C3 D4【解析】 由数乘的定义及性质可知均正确【答案】 D2已知点M是ABC的重心，并且对空间任意一点O，有x，则x的OMOA1 3OB1 3OC值为( )A1 B0 C3 D1 3【解析】 因为M为ABC的重心，设BC的中点为D，所以 ()OMOA2 3ADOA2 3ODOA ()，1 3OA2 31 2OBOC1 3OA1 3OB1 3OC故x .1 3【答案】 D3在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则有化AB1 2BC3 2DEAD简的结果为_. 【解析】 延长DE交边BC于点F，则，故AB1 2BCAF3 2DEADADDFAFAB1 20.BC3 2DEAD15【答案】 04如图 3112 所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，若xy，则x，y的值分别为多少？B1CODOC1图 3112【解】 设a a，C1B1b b，c c，C1D1C1C四边形B1C1D1A1为平行四边形，c ca a，B1C又O是B1D1的中点， (a ab b)，C1O1 2 (a ab b)，OC11 2b b (a ab b) (b ba a)OD1C1D1C1O1 21 2D1D綊C1C，c c，D1D (b ba a)c c.ODOD1D1D1 2若存在实数x，y，使xy(x，yR R)成立，则B1CODOC1c ca axy1 2b ba ac c1 2a ab b (xy)a a (xy)b bxc c.1 21 2a a，b b，c c不共线，Error!得Error!Error!