2012 年秋线性代数 A期末试题 A 卷及参考解答 2012 年秋线性代数 A期末试题 A 卷及参考解答 一、填空题： （每小题 3 分，共 15 分） 1，已知行列式123 456789，为它的元素代数余子式，则ijAija21222323+AAA= 解：解：212223123 23123789AAA+= 0000a, ,cb,c,a,b123() ,() ,()=, ,a b c 2，设，则满足关系式 TTT 解：解： 0abc 3，设，24 02000A = =11*A为A的伴随矩阵，则*()1=A 解：解：*122 ()0002AAA11 = 01 1 4，设方程有无穷多个解，则123111 111112ax axax = a = 解：解： 2a = 5，设02012x=，A为正交矩阵，则0=Ax 解：解： 2012 二、单项选择题： （每小题 3 分,共 15 分） 1，行列式123000 000 00000na a aa=? ? ? ? ?0 （A）； （B）； （C）； （D） 12na aa?12na aa?1 12( 1)nna aa+?12( 1)nna aa?解解：由定义知，正确选项为 C. 2，设是阶方阵，则有 BA,n0AB = 1（A）0=A或0=B； （B）0=+ BA； （C）0BA=； （D）. 0BA=+解：解：A 3，元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是 n0= =AX （A）； （B）R( )A nnR( )A 22 1225fyyy=+，求参数及所用的正交变换(10 分)(10 分) a解：解：二次型的矩阵为由题意知200 0303aa =AA的特征值为1231,2,5=将11=代入 22(2)(69)0a =+=AE， 0a 得于是 2a =200 032023 =A对于11=，解方程组()=AE x0得特征向量10 11 =，单位化得101121 =p 对于22=，解方程组(2)=AE x0得特征向量，取 21 00 = 21 00 = p4对于35=，解方程组(5)=AE x0得特征向量，单位化得30 11 = 301121 = p 故所用的正交变换矩阵为01011022 11022 = P 九、 （本题 10 分）设是一个维 Euclid 空间，Vn 0 是中一固定向量，证明：V1,0,V=xx xV1是V的一个子空间 证明：证明：因为，所以非空再证对两种运算封闭 1V01V1V任给，即12,Vxx12,0,=x x0，根据V的线性加性有 1212,+=+xxx x =1，从而可知另一方面，由000+=12V+xx11,0kk=xx 1可知， 1kVx此即证得1,0,V=x x xV是V的一个子空间 5