1 高斯随机过程高斯随机过程 1定义定义 高斯过程： 如果随机过程Ttt),(的有限维分布都是高斯分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。高斯过程是二阶矩过程的一个重要子类。 复高斯过程： 如果随机过程是一个复高斯过程， 则在 n 个时刻抽样得到 n 个复随机变量， 也就是 说 n 个时刻抽样组成了 2n 维实高斯分布随机矢量。 宽平稳实高斯随机过程： 如果随机过程)(t是宽平稳实高斯随机过程，它的均值是常数，相关函数仅与时间差iktt 有关， 不再单独依赖于kt和it。 随机过程)(t的一切有限维分布都不随时间平移而改变，即)(t是严平稳随机过程。 2性质性质 定理 1： 若()()( 2)( 1)(,n knnn?=为 k 维实高斯变量，均方收敛于()k?,21=，即对每个分量说有kiEin in= 1, 0lim2)(， 则也是高斯分布的随机矢量。 定理 2： 若高斯过程Ttt),(是在 T 上均方可导的，则Ttt ),(也是高斯过程。 定理 3： 若Ttt),(是在 T 上均方可积的高斯过程，则=taduut)()(，Tta,及=baduuthut),()()(，Tba,也是高斯过程。 2 结论 1： 高斯随机过程可以用它的任意有限维分布来描述， 高斯随机过程可以用它的均值和协方差矩阵来描述， 研究高斯随机过程，就是研究它的均值和协方差函数，即均值和相关函数。 结论 2： 高斯随机过程经过任意一个线性系统，或线性运算（包括微分、积分）后，仍然是 一个高斯过程， 它的统计特性完全可以用它的均值和协方差函数来描述， 只要研究 它的均值和协方差函数，就研究了相应的高斯过程。 3高斯马尔可夫过程高斯马尔可夫过程 定义 1： 设有零均值实随机过程)(t，它是高斯过程，又是马尔可夫过程。 定理 1： 对于高斯马尔可夫过程，有),(),(),()(),(cov),(223221 3131ttCttCttCttttC=。 证明： 122312/1112323/312/11321112/23/313213213132132131313131)(/ )()/()()/()/()()()/()/(),(),()()()(),(cov),(1212312111223321321dxdxttExxfxfxdxdxdxxxfxxxfxfxdxdxdxxfxxfxxfxxdxdxdxxxxfxxdxdxdxxxxfxxttEttttC= 利用高斯分布的条件均值的表达式，有 2 22232 2223 23),(),()()()()()(/ )(xttCttCxttEttEttE=于是有， 3 12212/11 2223122 2223 12/1131)/()(),(),(),(),()/()(),(121121dxdxxxxfxfxttCttCdxdxxttCttCxxfxfxttC=12112/12 2223)()/(),(),(112dxdxxfxxfxxttCttC= ),(),(),(223221 ttCttCttC= 定理 2： 设?, 2, 1, 0),(=nn为高斯分布平稳实随机序列，则),0()(CanCn=，0)0(C，1, 0an为)(n是马尔可夫过程的充分必要条件。 证明： 必要性的证明， )(t是高斯马尔可夫过程，),(),(),(),(223221 31ttCttCttCttC=， 设321ttt tt，)()(1020tWtW为高斯分布的随机变量，其概率密度为 )()(2exp)(21)(12212)()(1020 tt 12 101010101020101010201020)()()()()()()()()()()()(ttWEtWtWEtWtWtWEtWtWtWtWEtWtWE=+=+=设021 tt 21020)()(ttWtWE= 因此有),min()()(121020tttWtWE= 普通的维纳过程 定义 2： 普通的维纳过程，如果)()(10tWttW=，则ttWE=)(， 为常数称为偏移系数，ttWEtDWtWD22 02 02)()()(=，2为常数，称为过程的强度。)(tW的一维概率密度是 6 )(2)(exp 21)(222)(0。现研究t duu0)(的统计特性。 均值 = tt duuEduuE000)()( 相关函数 设012tt 12020 020 00 000112121221)()()()()()()(tdudvvududvvuEdudvvuEdvvduuEtt tt tt ttt=设021tt 220021 )()(tdvvduuEtt =7 因此有 21200,min)()(21 ttdvvduuEtt =t duu0)(是一个维纳过程 维纳过程的微分是一个白高斯噪声过程，白高斯噪声过程的积分是一个维纳过程。 推论 对于一个随机游动过程， 是一个独立增量过程。 如果它的每次游动的步长趋于零 （无 限小） ， 而单位时间的随机游动的次数趋于无限大， 并保持它们的乘积是一个常数， 它将趋于一个高斯过程，而且是维纳过程。