八十九學年度師範院校教育學術論文集（pp. 651-680） 。國立新竹師範學院。1實踐學生的數學日記對教師的擬題與佈題的改變實踐學生的數學日記對教師的擬題與佈題的改變林碧珍* 蔡文煥* 李嘉珍* 柯政毅* *國立新竹師範學院數理教育系 *國立新竹師範學院國民教育研究所 *國立新竹師範學院數理教育研究所摘要摘要本論文是在描述一群小學教師實施學生的數學日記 ， 對他們的擬題與教學佈題的改變。資料是以研究情境的參與觀察者的角色，對每週例行一次的數學成長團體討論會、教師晤談、教師的數學日誌、和教室觀察等方法蒐集，並以在不同的時間點教師在數學日記上設計的題目變化，作為說明教師擬題改變的指標；而以教師在教學時所作的佈題改變，作為教師教學佈題改變的指標。研究發現：教師在數學日記上設計的題目，在題型上與內容上逐漸趨於深化與廣化；深化與廣化是教師最常設計給學生擬題的類型是由原來的算式類增加為文字類、圖表類、數學概念類、和解題過程類、故事類。在教學佈題方面，最初僅考慮到生活化、情境化、趣味化之外，教師也瞭解到數學結構的重要性。學生在數學日記上的所出的題目是教師教學佈題取材的重要來源。關鍵詞：歷程檔案評量、數學日記、數學日誌、擬題、佈題八十九學年度師範院校教育學術論文集（pp. 651-680） 。國立新竹師範學院。2實踐學生的數學日記對教師擬題與佈題的改變實踐學生的數學日記對教師擬題與佈題的改變林碧珍* 蔡文煥* 李嘉珍* 柯政毅* *國立新竹師範學院數理教育系 *國立新竹師範學院國民教育研究所 *國立新竹師範學院數理教育研究所壹壹、緒論緒論數學解題能力是八十二年的國小數學課程標準所要培養學生的數學涵養之一 （教育部，1993） ，也是九年一貫課程數學學習領域的數學目標之一（教育部，2000） 。雖然解決問題的能力重要，然而，心理學家也認為形成數學問題很重要，本質上，形成問題是一種極具創意的心智活動，其價值性並不低於去解決問題的答案。Wertheimer 認為： 思考的功能不祇於解決問題而已，它還具有發現、預見，以及深化問題的作用，在重大發現中，就屬於找到某個特定問題最為重要，預先察覺並提出深具創造性的問題，經常是重大發現的關鍵所在，其重要性遠大於問題的解答 （引自許育彰，2000） 。近年來，世界各國的數學課程逐漸地重視學童形成數學問題能力的培養，研究者更是將其視為是數學活動的重要核心（Brown 1997b; Gonzales, 1994；Leung,1997；Leung 此外，您的學生在擬題時習慣使用與買賣、錢幣的情境，一共有28人，所以可以鼓勵學生多用不同的情境來擬題，才容易類化到各種問題。（二二）有關教學佈題進行的探究活動有關教學佈題進行的探究活動：（1） 邀請梁淑坤演講教師教學佈題 ： 演講內容以教師教學中可採用的佈題方式為主，並示範師生共同佈題的技巧，讓教師吸收更多元的佈題方式。（2） 欣賞情境教學錄影帶：這卷錄影帶的內容是以數學教室的情境為主題，觀賞之後，教師們共同討論有關教學佈題的特點。（3） 閱讀擬題與佈題的文章：在期初，研究者將佈題擬題與評量相關的文章，裝訂成冊，讓教師們閱讀相關的理論。（4） 分析已教過或預教的各版本數學教科書上的教學活動用的題目 ： 主要是了解教師的教學佈題所關心的層面。分析後，分享彼此的分析以擴充佈題的觀點，試探教師針對某一預教的單元，以瞭解教師可能對活動的佈題所做的改變，並瞭解教師的佈題知識是否提昇？（5） 加減法的語意結構與乘除法問題結構 ： 幫助教師能從數學結構的觀點考慮八十九學年度師範院校教育學術論文集（pp. 651-680） 。國立新竹師範學院。10教學的佈題。四四、資料蒐集與分析資料蒐集與分析本論文的目的是在呈現教師在實踐學生的數學日記下教師的擬題與佈題的改變與成長 。 用來蒐集與教師擬題與佈題相關的資料主要是教師在學生數學日記上設計的題目和教師的教學（47 節課） 。有關教師原有的佈題與擬題知識的蒐集是在協同數學成長團體的討論會記錄（每週一次） ，教師晤談（第一學期末和第二學期末） ，教師的數學日誌、和教師在討論會上所進行的工作任務(tasks)分析所留存的記錄。將討論會記錄與教師晤談記錄逐字轉錄，再重複閱讀逐字稿。 以時間的縱向序列考慮，分析每位教師在數學日記上的題目的改變，以學生在數學日記上的表現作為題目分析的輔助資料。教室觀察的資料，首先將拍攝的教學錄影帶轉錄成書面資料如同教案的格式，以編碼方式，依據佈題的題數、佈題的素材（算式題、文字題、圖表題、圖形題、活動題） 、情境（物件的種類） 、表徵方式、數學結構、題目的來源，作為分析資料的架構。參參、研究結果研究結果一一、教師在數學教師在數學日記上命題的改變日記上命題的改變在初期，教師設計數學日記的題目所遭遇的最大困難是：不知道要出什麼樣的題目。在初期的一個月，若以題目的目的來分析教師在數學日記上設計的題目，分為三種類型：第一種是為了加深孩子的數學概念；第二種是為了瞭解孩子的學習感覺及學習心得；第三種是為了給孩子出數學題目，更而，這類型的題目，大部份的素材是算式的形式。一直到在討論會上，研究者提供給可以讓學生擬題的另類素材，教師才知覺到給學生擬題素材可以有這麼的多元。下面這段話是錄八十九學年度師範院校教育學術論文集（pp. 651-680） 。國立新竹師範學院。11自菁菁老師的數學日誌：林教授的說明給我很不一樣的想法，原來學生的數學題目可以有這麼多的類型，自 己以往的認識只限於課本習作的練習題，從未想過有這麼多的發展空間，尤其將傳 統以教師出題導向改為學生擬題，而且學習數學並不在於學生會不會做題目。除此 之外它也讓學生重視反省學習的過程和反省學習的歷程，這對我數學教學所持的觀 點來說是個很大的震撼。 （菁菁,數學日誌，881101）經過這次的討論會，教師在數學日記上設計的題目的觸角才開始往外擴張，透過每週研究者將每位教師設計的不同題型整理並印製在投影片上，共同分享，而使得在題目的形式上逐漸趨向於創意及多樣化 ， 而且也慢慢地發展出具有個人特質的題目，芳芳老師的題目很在乎孩子解題的多樣化，素素老師的題數仍然以多取向，玲玲老師以學生需要幫助教師的方式來讓學生出題。從學年的期末晤談發現 ： 大多數的教師都能自省到上學期自己的數學日記是為寫數學日記而寫數學日記，到了下學期，他們都能釐清數學日記的特殊意義，能區分數學日記與數學習作的不同 ， 他們所設計的數學日記不是只在追求題型上的創意及變化 ， 而是為了配合教學活動後提供機會讓孩子在課堂所學習的概念再次的反芻，讓他們能隨時進行上一節課的補救教學。若要說明教師在數學日記上的改變 ， 最好的呈現方式是以每個個案的縱向面發展。由於篇幅限制，本論文僅分析三年級（芳芳老師）和二年級（玲玲老師）各一個個案作為教師在數學日記上擬題的改變說明。（一一）芳芳芳芳老師老師我們觀察到：也許是因為芳芳老師剛開始對於數學日記的內涵還有點不清楚，因此對於數學日記的實施還有點怯步，但是經過三次的討論會之後，芳芳老師才開始嘗試她的第一份數學日記 ， 這份數學日記的第一個題目是提供機會讓兒童將當天所教過的內容做一個回顧，讓兒童反省自己今天在課堂上的表現，以加深當天學過的課程內容。第二個題目是屬於給孩子一個開放性的擬題題目。1、今天的數學課我學到了_（用自己的話或畫圖寫下來） 。2、用 、 和符號，出一個題目給自己做。八十九學年度師範院校教育學術論文集（pp. 651-680） 。國立新竹師範學院。12依據第二題學生在數學日記上所出的題目，整理歸納分析於表一。我們看到孩子出題的多樣化，使用豐富的情境，除了文字題外，有少部份的孩子也加入了圖形在擬題的情境中，從此看到孩子豐富的創造力。從芳芳老師出的題目中，我們發現到只要提供一個適當的題目，便能引發兒童多樣化的思考，從中培養兒童創造思考能力。非但如此，從孩子的擬題中，也能檢驗孩子對於該概念是否真正的理解。表一學生對於用 、 和符號，出一個題目給自己做。的擬題類型擬題 類型誰比較多一樣多其他答錯 （題目不完整）小百合有 250 顆糖果， 小沙利有 200 顆糖果， 誰比較多？小麗和小美到便利商店買東 西，小美買了鉛筆盒 50 元和彩 色筆 85 元，小麗買了玩具熊 145 元，他們兩個是不是一樣 多呢？小美和小麗一起去逛花市，小 美買了一個 400 元的娃娃，小 利買一枝 320 元的自動鉛筆和 一台 180 元的小汽車，小麗會 比小美花的多嗎？小美和小冬一起去百貨 公司買化妝品，小美買 了一盒口紅和一瓶化妝 水。小明有 200 元，小方有 2 個 100 元，誰比較 多？小強和阿國一起去商店買東 西，小強買了一個 76 元的牛奶 糖和一個 45 元的巧克力，阿國 只買了一瓶飲料 135 元，小強 會比阿國買的還要貴嗎？小華有 2374 元小明有 2367 元，媽媽再給小華 6 元。學生擬題舉例100 元5 元 10 元150 元 小明買了和合 起來的價錢會比 價錢多？小明有 80 元，小華有 36 元， 小楊有 110 元， （1）小明和小 華加起來共有多少元？（2）小 明和小華有沒有比小楊多呢？小明和小美去買娃娃， 小明買了一個 40 元娃 娃，和一個 65 元的娃 娃 ， 小美買了 28 元的娃 娃，小明比小美多花多 少元？人數20 人1 人6 人6 人從表一的分析，從孩子的擬題顯示：大部分能掌握對於 、 和符號的意義，全班 37 人中還有六個人還沒有能力形成一個完整的數學題目。從孩子的答題中，他們在問句上有使用誰比較多的傾向，鮮用誰比較少？或是一樣多嗎？的問句。這樣的現象，有可能受到芳芳老師的教學影響，當我們再進一步追溯原因 ， 以非正式訪問芳芳老師的教學佈題及再分析她在前面幾次的佈題，確實證實了芳芳老師的教學有使用誰比較多？的傾向。從這個現象反映了一個事實，孩子的出題，深受教師教學佈題的影響。此外，在 88 年 10 月 1 日給孩子的數學日記裡，芳芳老師出了一個這樣的題目：橡八十九學年度師範院校教育學術論文集（pp. 651-680） 。國立新竹師範學院。13（1） 這裡有（ ）個盤子，各放（ ）個? 請用連加法算出有幾個? 請用乘法算出有幾個？（ ）（ ）（ ） 請說說看第 題的方式是什麼意思？ （2）請用 326 的式子來出一個題目，可畫圖或用文字。第、題是幫助學生瞭解單位數與單位量的意義。接著在第題，開始導入本單元的目標（乘法） ，使用乘法去解題；在第題中，要求學生監控自己的解題過程，可以培養學生後設認知的能力。從芳芳老師的出題形式與內容來看，可以看得出來，她逐漸唾棄數學只是死背公式的教學觀，轉而為逐漸重視瞭解學生的解題意義。整體而言，芳芳老師所出的這份題組，有助於診斷學生學習的情況，可以很清楚的瞭解學生在哪一個地方發生問題？需要加強的地方在哪裡？從分析芳芳老師在九月份與十月份的數學日記上的題目顯示出 ： 她在數學日記上的佈題有了改變。改變的是，她將佈題的重點放在兒童的思考上，開始重視需要學生擬題的題目；然而，在這個階段她需要學生擬題的題目大多是以算式的素材為主，如當分析芳芳老師的數學日記上的題目時，發現從十一月份起，數學日記上除了有需要學生擬題的題型外，又增加了給學生寫數學故事題和質疑辯證的題型。例如芳芳老師佈了一題薇薇小朋友編出下面了的數學故事：請用 5630 的式子來出一個題目。可用畫圖或用文字（數學日記，881004）今天上數學課時，老師編了一個李明鴻的壓歲錢的數學故事，其中有故事情節，也 有數學題目。小朋友，請你模仿老師的方法，自己編一個和壓歲錢有關的數學故事。(數 學日記，890225)2 月 5 日是過年，雖然胡志剛的紅包很少，可是他不死心，決定去要紅包。首先，他先去阿姨家，阿姨說我給你 600 元當作紅包。然後因