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12.42.4 二次函数与幂函数二次函数与幂函数最新考纲考情考向分析1.理解并掌握二次函数的定义,图象及性质2.能用二次函数,方程,不等式之间的关系解决简单问题3.了解幂函数的概念4.结合函数yx,yx2,yx3,y ,y1 x1 2x的图象,了解它们的变化情况.以幂函数的图象与性质的应用为主,常与指数函数、对数函数交汇命题;以二次函数的图象与性质的应用为主,常与方程、不等式等知识交汇命题,着重考查函数与方程,转化与化归及数形结合思想,题型一般为选择、填空题,中档难度.1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式:一般式:f(x)ax2bxc(a0)顶点式:f(x)a(xm)2n(a0),顶点坐标为(m,n)零点式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0),x1,x2为f(x)的零点(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0,当Error!时,恒有f(x)bc且abc0,则它的图像可能是( )答案 D解析 由abc0 和abc知,a0,c0,排除 C.6已知函数yx22x3 在闭区间0,m上有最大值 3,最小值 2,则m的取值范围为_答案 1,2解析 如图,由图像可知m的取值范围是1,2题型一题型一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3,对任意xR R,都有f(1x)f(1x)成立,则f(x)的解析式为_答案 f(x)x22x3解析 由f(0)3,得c3,又f(1x)f(1x),函数f(x)的图像关于直线x1 对称, 1,b2,b 2f(x)x22x3.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1,则f(x)_.答案 x22x5解析 设函数的解析式为f(x)ax(x2),所以f(x)ax22ax,由1,4a 04a2 4a得a1,所以f(x)x22x.思维升华 求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a,bR R 且a0),xR R,若函数f(x)的最小值为f(1)0,则f(x)_.(2)若函数f(x)(xa)(bx2a)(a,bR R)是偶函数,且它的值域为(,4,则该函数的解析式f(x)_.答案 (1)x22x1 (2)2x24解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa,由已知f(x)ax2bx1,a1,故f(x)x22x1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称,a,即b2,f(x)2x22a2,(2a b)又f(x)的值域为(,4,2a24,故f(x)2x24.题型二题型二 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质命题点 1 二次函数的图像典例 (2017郑州模拟)对数函数ylogax(a0 且a1)与二次函数y(a1)x2x在同一坐标系内的图像可能是( )6答案 A解析 当 0a1 时,ylogax为减函数,y(a1)x2x开口向下,其对称轴为x0,排除 C,D;当a1 时,ylogax为增函数,y(a1)x2x开口向上,其对12a1称轴为x0,排除 B.故选 A.12a1命题点 2 二次函数的单调性典例 函数f(x)ax2(a3)x1 在区间1,)上是减少的,则实数a的取值范围是( )A3,0) B(,3C2,0 D3,0答案 D解析 当a0 时,f(x)3x1 在1,)上递减,满足题意当a0 时,f(x)的对称轴为x,3a 2a由f(x)在1,)上是减少的知Error!解得3a0.综上,a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1 的递减区间是1,),则a_.答案 3解析 由题意知f(x)必为二次函数且a2xm恒成立,则实数m的取值范围是_答案 (,1)解析 f(x)2xm等价于x2x12xm,即x23x1m0,令g(x)x23x1m,要使g(x)x23x1m0 在1,1上恒成立,只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于 0 即可g(x)x23x1m在1,1上是减少的,g(x)ming(1)m1.由m10,得m0,则实数a的取值范围为_答案 (1 2,)解析 由题意得a 对 1x4 恒成立,2 x2 x29又 22 , 1,2 x2 x2(1 x1 2)1 21 41 xmax ,a .(2 x2 x2)1 21 2题型三题型三 幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质1幂函数yf(x)经过点(3,),则f(x)是( )3A偶函数,且在(0,)上是增函数B偶函数,且在(0,)上是减函数C奇函数,且在(0,)上是减函数D非奇非偶函数,且在(0,)上是增函数答案 D解析 设幂函数的解析式为yx,将(3,)代入解析式得 3,解得 ,y331 21 2x,故选 D.2若四个幂函数yxa,yxb,yxc,yxd在同一坐标系中的图像如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )AdcbaBabcdCdcabDabdc答案 B解析 由幂函数的图像可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图像越接近x轴,由题图知abcd,故选 B.3若(2m1)1 2(m2m1)1 2,则实数m的取值范围是( )A. B.(, 512512,)C(1,2) D.512,2)答案 D解析 因为函数y1 2x的定义域为0,),10且在定义域内为增函数,所以不等式等价于Error!解 2m10,得m ;1 2解m2m10,得m或m. 512512解 2m1m2m1,得1f(x2)Cf(x1)0,又x1x20,当x1,x2在对称轴的两侧时,x1x2 ,故f(x1)”连接)(2 5)(1 2)答案 PRQ解析 P3 223,根据函数yx3是 R R 上的增函数,且 ,得333,(22)221 22 5(22)(1 2)(2 5)即PRQ.138已知幂函数f(x)x,当x1 时,恒有f(x)1 时,恒有f(x)1 时,函数f(x)x的图像在yx的图像的下方,作出幂函数f(x)x在第一象限的图像(图略),由图像可知0,a x1故 00 时,f(x)(x1)2,若当x时,nf(x)2,1 2m恒成立,则mn的最小值为_答案 1解析 f(x)为偶函数,当x0,f(x)f(x)(x1)2(x1)2,当x时,f(x)max1,f(x)min0,2,1 20f(x)1,m1,n0,(mn)min1.1412已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2,x2,3时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为 1,求实数a的值解 (1)当a2 时,f(x)x23x3,x2,3,对称轴x 2,3,3 2f(x)minf 3,(3 2)9 49 221 4f(x)maxf(3)15,函数f(x)的值域为.21 4,15(2)对称轴为x.2a1 2当1,即a 时,2a1 21 2f(x)maxf(3)6a3,6a31,即a 满足题意;1 3当1,即a 时,2a1 21 2f(x)maxf(1)2a1,2a11,即a1 满足题意综上可知,a 或1.1 313已知在(,1上递减的函数f(x)x22tx1,且对任意的x1,x20,t1,总有|f(x1)f(x2)|2,则实数t的取值范围为( )A, B1,222C2,3 D1,2答案 B解析 由于函数f(x)x22tx1 的图像的对称轴为xt,函数f(x)x22tx1 在区间(,1上是减少的,t1.当x0,t1时,f(x)maxf(0)1,f(x)minf(t)t22t21t21,要使对任意的x1,x20,t1,都有|f(x1)f(x2)|2,只需 1(t21)2,解得t.2215又t1,1t.故选 B.214当x(1,2)时,不等式x2mx41,即a2 时,f(x)在上是减少的,在上是增加的,不合题意;a 21,a 2)(a 2,)当 0 1,即 0a2 时,符合题意;a 2当 0,则x0),f(x)Error!(3)g(x)x22x2ax2,对称轴方程为xa1,当a11,即a0 时,g(1)12a为最小值;当 12,即a1 时,g(2)24a为最小值综上,g(x)minError!
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