12.52.5 指数与指数函数指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10， 的指数函数的图象1 21 3 4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是m na(a0，m，nN N，且n1)于是，在nam条件a0，m，nN N，且n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定m na1m na(a0，m，nN N，且n1).0的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ Q.2指数函数的图像与性质yaxa100 时，y1；当x0 时，01性质(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数知识拓展1指数函数图像的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(1，1 a)2.指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图像，底数a，b，c，d与 1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图像越高，底数越大3指数函数yax(a0，a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1 与0a1 来研究题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na(nN N)( )nanna(2)分数指数幂m na可以理解为 个a相乘( )m n(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数( )(4)若aman(a0，且a1)，则mn.( )(5)函数y2x在 R R 上为减函数( )题组二 教材改编2化简(x0，y0) .416x8y4答案 2x2y3若函数f(x)ax(a0，且a1)的图像经过点P，则f(1) .(2，1 2)3答案 2解析 由题意知 a2，所以a，1 222所以f(x)x，所以f(1)1.(22)(22)24已知a1 33( )5，b1 43( )5，c3 43( )2，则a，b，c的大小关系是 答案 cb1，又c3 40，a1)在1,2上的最大值比最小值大 ，则a的值为 a 2答案 或1 23 2解析 当 01 时，a2a ，a 24a 或a0(舍去)3 2综上所述，a 或 .1 23 2题型一题型一 指数幂的运算指数幂的运算1化简1 2131 1332( 4)(0.1)()abab(a0，b0) .(1 4)答案 8 5解析 原式233 32233 22210abab213101 .8 52计算：2 31 20.00210(2)10 .(27 8)5答案 167 9解析 原式21 25001，(3 2)10 52 52 52 1010201.4 955167 93(2017兰州模拟)化简：41 2333 3 22 3338242aa bbaababa (a0) .a3a25a3a答案 a2解析 原式1111121 111333333332 333 1111111 223333352()(2) 2()(2) ()(2)(2)()aababa aaabaaabbaa 5 6111 3362aaaba a2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；5运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数题型二题型二 指数函数的图像及应用指数函数的图像及应用典例 (1)函数f(x)1e|x|的图像大致是( )答案 A解析 f(x)1e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0.符合条件的图像只有A.(2)已知函数f(x)|2x1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0C2a2c D2a2c2答案 D解析 作出函数f(x)|2x1|的图像，如图，abc且f(a)f(c)f(b)，结合图像知，0f(a)1，a0，c0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12c2，f(c)|2c1|2c1，又f(a)f(c)，12a2c1，2a2c2，故选 D.6思维升华 (1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图像可从指数函数的图像通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练 (1)已知实数a，b满足等式 2 018a2 019b，下列五个关系式：03.又a0)，则yt22t的递增区间为1，)，令 2x1，得x0，又y2x在 R R 上是增加的，所以函数f(x)4x2x1的递增区间是0，)命题点 3 指数函数性质的综合应用典例 已知函数f(x)243axx.(1 3)(1)若a1，求f(x)的单调区间；8(2)若f(x)有最大值 3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解 (1)当a1 时，f(x)243xx，(1 3)令ux24x3(x2)27.则u在(，2)上是增加的，在(2，)上是减少的，而yu在 R R 上是增加的，(1 3)所以f(x)在(，2)上是减少的，在(2，)上是增加的，即函数f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值 3，所以h(x)应有最小值1，(1 3)因此必有Error!解得a1，即当f(x)有最大值 3 时，a的值为 1.(3)由f(x)的值域是(0，)知，ax24x3 的值域为 R R，则必有a0.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练 (1)已知函数f(x)Error!的值域是8,1，则实数a的取值范围是( )A(，3 B3,0)C3，1 D3答案 B解析 当 0x4 时，f(x)8,1，当ax0 时，f(x)，(1 2)a，1)8,1，1 2a，1)即81，即3a0，1 2a实数a的取值范围是3,0)(2)(2017江淮十校第三次联考)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是( )Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定答案 A解析 f(x1)f(1x)，f(x)关于x1 对称，易知b2，c3，9当x0 时，b0c01，f(bx)f(cx)，当x0 时，3x2x1，又f(x)在(1，)上是增加的，f(bx)0，a1)在区间上有最大值 3，3 2，0最小值 ， 试求a，b的值5 2错解展示：现场纠错解 令tx22x(x1)21，x，t1,03 2，0若a1，函数f(t)at在1,0上为增函数，at，ba22xx，1 a，1b1 a，b1依题意得Error!解得Error!若 01，b1，b0C00D01，a0，a1)满足f(1) ，则f(x)的递减区间是( )1 9A(，2 B2，)C2，) D(，2答案 B解析 由f(1) 得a2 ，1 91 9所以a 或a (舍去)，即f(x)|2x4|.1 31 3(1 3)由于y|2x4|在(，2上是减少的，在2，)上是增加的，所以f(x)在(，2上是增加的，在2，)上是减少的故选 B.7(2017濮阳质检)若“ma”是“函数f(x)xm 的图像不过第三象限”的必要(1 3)1 3不充分条件，则实数a能取的最大整数为 答案 1解析 f(0)m ，函数f(x)的图像不过第三象限等价于m 0，即2 32 3m ，“ma”是“m ”的必要不充分条件，a ，则实数a能取的最大整2 32 32 3数为1.8不等式222xxx4的解集为 (1 2)答案 (1,4)解析 原不等式等价为222xx2x4，又函数y2x为增函数，x22xx4，即x23x40 且a1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是 答案 (0，1 2)解析 (数形结合法)当 01 时，解得 01 矛盾1 2综上，a的取值范围是.(0，1 2)10当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0，a1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；13(2)若不等式xxm0 在(，1上恒成立，求实数m的取值范围(1 a)(1 b)解 (1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)，所以Error!所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则x(，1时，xxm0 恒成立，即(1 2)(1 3)mxx在(，1上恒成立(1 2)(1 3)又因为yx与yx均为减函数，所以yxx也是减函数，所以当x1 时，(1 2)(1 3)(1 2)(1 3)yxx有最小值 .所以m .即m的取值范围是.(1 2)(1 3)5 65 6(，5 613已知yf(x)是定义在 R R 上的奇函数且当x0 时，f(x)，则此函数的值域1 4x1 2x为 答案 1 4，1 4解析 设t，当x0 时，2x1，0 ，不符合，舍去； 249 1633 81 4当 2 时，g(t)ming(2)47，令471，得 2，不符合，舍去3 2综上所述，实数的值为.2