1非线性观测器的设计 非线性观测器的设计 1 观测器设计方法观测器设计方法 考虑如下非线性不确定系统 ( , , )xAxBuf t x u yCx=+ =?未知函数( , , ):nmnf t x uRRRR+表示系统的非线性或不确定性，且满足匹配条件( , , )( , , )f t x uBt x u=，其中1( , , )( , )t x ur ua t y+，1r为已知正实数，( , )a t y为已知函数。 1.1 Walcott-Zak 鲁棒观测器鲁棒观测器 Walcott 和 Zak 提出了一种观测器，首先假设：对于上述非线性系统，存在矩阵 G，使得0AAGC=有稳定的特征值，且有 TTC FPB= 00()T FFFA PP AQ P+= 其中，P、Q 均为对称正定阵。Walcott-Zak 鲁棒观测器设计为如下形式 ()xAxBuG CxyBv=+?式中 x为观测器估计的系统状态，v 为观测器输入 000FCeFCeFCevFCe= =其中，exx=，设计参数满足 1( , )r ua t y+ 得到的误差系统 0eA eBBv=+? 是渐进稳定的。 Walcott-Zak 鲁棒观测器实现时的困难在于找到增益矩阵 G 和 Lyapunov 矩阵 P。 Walcott2和 Zak 提出了如下算法： （1）选择0A的谱，计算相应的矩阵 G； （2）根据TTC FPB=，用 F 的各个分量表示 P，保证 P 对称正定； （3）根据00()T FFFA PP AQ P+= ，由 P 和0A得到 Q； （4）选择 F 和 P 的各个分量，保证 Q 对称正定。 1.2 滑模观测器滑模观测器 滑模观测器形式为 ()xAxBuG CxyBv=+?其中 G 为设计矩阵，使得0AAGC=有稳定的特征值，v 为观测器输入。 偏差系统为 0eA eBBv=+? 设计滑模为()sMeF Cxy= 滑模控制器为 ()22()0.5000TT TTTs MBs MBss MB s MBvs MB+= =其中，1( , )r ua t y=+，0，01。根据以上模糊控制规则可得 _()0000sPLmsPSsPLsPSN sNLmsNSsNLsNSsvs+=+即 tanh000T Tm m N Ts MBs MBv s MB= =2 仿真算例仿真算例 ( , , )xAxBuf t x u yCx=+ =?其中，210031 004A =，0030 05B =，101 010C=， 初始状态0.50.81Tx =，0.20.30.5Tx =， 非线性项( , , )f t x u满足匹配条件，函数为( , , )2sin(2)2cos(2)Tt x utt=，因此( , , )2t x u。 一、Walcott-Zak 观测器 一、Walcott-Zak 观测器 (1)矩阵 A 的特征值为234，为 Hurwitz 矩阵，选取 G=0。 4(2)设11122122ffFff=，111213212223313233pppPpppppp =，根据TTC FPB=，保证 P 对称，用 F的各个分量表示 P 为： 11122212122222112135335535FpffPffffff = (3)根据00()T FFFA PP AQ P+= ，求出()FQ P： 1111121222111212122211122212221122215164335 54124()33353 1612428 3535355FppfffQ Ppffffffffffff =+ +(4)保证()FQ P对称，正定，选择882()882228FQ P =，因此得到 F 和 P 06 50F=，220220001P = 至此，Walcott-Zak 观测器设计完成。由设计过程可见，Walcott-Zak 鲁棒观测器设计方 法需要的计算量大，当系统阶数高时，难以实现。 二、滑模观测器 二、滑模观测器 （1）选取 G=0； （2）滑模选取()sMeF Cxy=，其中参数矩阵12 11F=； （3）滑模控制器 ()22()0.5000TT TTTs MBs MBss MB s MBvs MB+= =2=，0.6= 三、模糊滑模观测器 三、模糊滑模观测器 5设计模糊滑模控制器为 tanh000T Tm m N Ts MBs MBv s MB= =参数选择与上节相同，0.2=。 3 仿真结果仿真结果 3.1 Walcott-Zak 观测器观测器 012345-0.4-0.200.20.40.6time/sx1x1 x1的估计值图 3-1 Walcott-Zak 观测器1x与1 x012345-1-0.500.511.5time/sx2x2 x2的估计值图 3-2 Walcott-Zak 观测器2x与2 x6012345-1.5-1-0.500.511.5time/sx3x3 x3的估计值图 3-3 Walcott-Zak 观测器3x与3 x012345-1.5-1-0.500.511.5time/see1 e2 e3图 3-4 观测器误差 e 012345-2-1012time/svv1 v2图 3-5 观测器输入 v 73.2 滑模观测器滑模观测器 012345-0.4-0.200.20.40.6time/sx1x1 x1的估计值图 3-6 滑模观测器1x与1 x012345-1-0.500.511.5time/sx2x2 x2的估计值图 3-7 滑模观测器2x与2 x012345-2-1.5-1-0.500.511.5time/sx3x3 x3的估计值图 3-8 滑模观测器3x与3 x8012345-1.5-1-0.500.511.5time/see1 e2 e3图 3-9 观测器误差 e 012345-3-2-10123time/svv1 v2图 3-10 观测器输入 v 3.3 模糊滑模观测器模糊滑模观测器 012345-0.4-0.200.20.40.6time/sx1x1 x1的估计值图 3-11 滑模观测器1x与1 x9012345-1-0.500.511.5time/sx2x2 x2的估计值图 3-12 滑模观测器2x与2 x012345-2-1.5-1-0.500.511.5time/sx3x3 x3的估计值图 3-13 滑模观测器3x与3 x012345-1.5-1-0.500.511.5time/see1 e2 e3图 3-14 观测器误差 e 10012345-4-2024time/svv1 v2图 3-15 观测器输入 v 012345-3-2.5-2-1.5-1-0.500.5time/sss1 s2图 3-16 滑动模态 s 4 Matlab 程序程序 4.1 Walcott-Zak 鲁棒观测器程序鲁棒观测器程序 clear clc x=0.5;0.8;-1; x_e=0.2;-0.3;0.5; A=-2 -1 0; 0 -3 -1; 0 0 -4; B=0 0; 3 0; 110 5; C=-1 0 1; 0 1 0; n=1; t=0; Dt=0.001; for i=1:5000 u=zeros(2,1); Dx=A*x+B*u+B*2*sin(2*pi*t);2*cos(2*pi*t); x=x+Dx*Dt; %观测器设计 G=zeros(3,2); F=0 6;5 0; e=x_e-x; if norm(F*C*e)=0 v=-2*F*C*e/norm(F*C*e); else v=0; end Dx_e=A*x_e+B*u-G*(C*x_e-C*x)+B*v; x_e=x_e+Dx_e*Dt; x_store(:,n)=x;x_e; e_store(:,n)=e; v_store(:,n)=v; t=t+Dt; n=n+1; end figure(1) plot(1:n-1)*Dt,x_store(1,:),(1:n-1)*Dt,x_store(4,:) legend(x1,x1 的估计值) xlabel(time/s) ylabel(x1) figure(2) plot(1:n-1)*Dt,x_store(2,:),(1:n-1)*Dt,x_store(5,:) legend(x2,x2 的估计值) xlabel(time/s) ylabel(x2) figure(3) plot(1:n-1)*Dt,x_store(3,:),(1:n-1)*Dt,x_store(6,:) 12legend(x3,x3 的估计值) xlabel(time/s) ylabel(x3) figure(4) plot(1:n-1)*Dt,e_store(1,:),(1:n-1)*Dt,e_store(2,:),(1:n-1)*Dt,e_store(3,:) legend(e1,e2,e3) xlabel(time/s) ylabel(e) figure(5) plot(1:n-1)*Dt,v_store(1,:),(1:n-1)*Dt,v_store(2,:) legend(v1,v2) xlabel(time/s) ylabel(v) 4.2 滑模观测器程序滑模观测器程序 clear clc x=0.5;0.8;-1; x_e=0.2;-0.3;0.5; A=-2 -1 0; 0 -3 -1; 0 0 -4; B=0 0; 3 0; 0 5; C=-1 0 1; 0 1 0; n=1; t=0; Dt=0.001; for i=1:5000 u=zeros(2,1); Dx=A*x+B*u+B*2*sin(2*pi*t);2*cos(2*pi*t); x=x+Dx*Dt; %观测器设计 G=zeros(3,2); F=1 2;-1 1; 13beta=2; N=0.6; M=F*C; e=x_e-x; s=M*e; row=2; if norm(s*M*B)=0 v=-(row*norm(s)*norm(M*B)+beta*0.5N*norm(s)(2*N)*(s*M*B)/norm(s*M*B)2; else v=0; end Dx_e=A*x_e+B*u-G*(C*x_e-C*x)+B*v; x_e=x_e+Dx_e*Dt; x_store(:,n)=x;x_e; e_store(:,n)=e; v_store(:,n)=v; t=t+Dt; n=n+1; end figure(1) plot(1:n-1)*Dt,x_store(1,:),(1:n-1)*Dt,x_store(4,:) legend(x1,x1 的估计值) xlabel(time/s) ylabel(x1) figure(2) plot(1:n-1)*Dt,x_store(2,:),(1:n-1)*Dt,x_store(5,:) legend(x2,x2 的估计值) xlabel(