半导体物理：第半导体物理：第12章章 外场外场 1.电场 2.磁场 3.量子霍尔效应 1 1. 电场 块体半导体材料中： 电场不影响激子的质心运动，但对激子的电子-空穴对的相对运动产生影响。 如果电场在z方向，则相关的哈密顿量为： 在垂直于电场的平面内，相对运动的解是平面波。 在电场中，能带会倾斜，也就是说不再有整体的带隙，如图12.1所示。 分离出xy平面的运动后，z方向运动的薛定谔方程为： 它具有如下的形式： 2 3 1. 电场 相应的变换是: 方程（12.3）的解是Airy函数： 前面的因子保证了正交归一性（相对Ez）。 吸收谱为： 4 1. 电场 在带隙下的光学跃迁，是光子辅助的隧穿过程，有指数尾；但在带隙以上会有一个震荡，Franz-Keldysh震荡（FKO），详见下图12.3a。 吸收谱以光电能Theta来标度。FKO峰的能量位置以niu（约0.5）为周期： 如果有非周期行为，就意味着有质量的非抛物线特性。 在低电场，实验吸收谱还会有由于激子关联的峰，详见图12.3b。 在更高的电场下，会出现FKO，激子峰会下降，由于激子在电场中离化了。 量子阱： 在量子阱中，电场沿囚禁方向（z方向），导致电子与空穴的平均位置向相反的界面移动，详见图12.1b。但激子不会因为电场而离化。 5 6 1. 电场 随着电场增加，吸收边的能量位置和复合能量将相应地降低。这就是量子限域的Stark效应。相应的实验，见图12.4。 这样，只有二阶Stark效应存在，其中电场先感应一个偶极矩 这个偶极矩与电场发生相互作用，其能量为： 在量子阱的相反的边上的载流子separation，导致电子和空穴波函数的重叠减少，结果导致复合寿命增加。 7 8 2. 磁场 在磁场中，电子（或空穴）做回旋运动，其频率为 ；其运动垂直于磁场，在k空间画出一个常数能量线。 在两次散射之间，是弹道回旋运动。要观察到很长的回旋运动轨迹以及相关的磁输运性质，需要下面的条件： 平均散射时间足够长， 这要求很高的迁移率； 磁场足够强，温度足够低， 即热激发不再Landau能级之间散射电子； 回旋路径上没有几何障碍。 外磁场也产生自旋态的劈裂。对于电子，劈裂能量是： 自由电子吸收： 没有静磁场的自由载流子吸收已经在9.7节讨论过。下面讨论有磁场的情况。 9 2. 磁场 如果有一个静态磁场和一个谐振电场，解方程（8.25），可得介电张量（比较（9.54）： 比较 ，有 其中， 是阻尼参数，mu是光学载流子迁移率。 等离子频率为： 回旋频率为： 10 2. 磁场 如果磁场为零，就回到了单载流子的经典Drude理论： 如果磁场垂直于样品表面，磁光介电张量为： 11 2. 磁场 块体晶体中的能级： 如果磁场沿z方向，xy平面内的运动由Landau能级描述。从量子力学看，这些就是谐振能级。磁场对z方向的运动无影响。 因此，总的能级为： 这样，态在k空间的同心圆柱面上，详见图12.5a。 理想情况下，每当一个新的柱面与费米能级相交时，态密度都发散。 在实际系统中，发散会被抹平，但仍会表现为一些列的峰，态密度的周期性仍然被保留。 周期由在费米面内的回旋轨道（Landau能级）的总数确定： 12 13 2. 磁场 考虑自旋后，Landau能级可以写为： 其中的有效质量和g因子都依赖于能量。当自旋-轨道耦合很强时，g因子可以远离2，也可以变为负的。 二维电子气中的能级： 二维电子气，可以由量子阱实现，也可以modulation-doped异质界面处的势阱实现。在其中，z方向的自由运动不可能，是量子化的。 能级由图12.6a给出。态密度是一些列delta函数峰，详见图12.6b。 每一个峰贡献g个态。其中，g是Landau能级的简并度： 在现实中，无序效应导致这些峰的不均匀展宽，峰尾的态对应实空间里的局域态。 14 15 2. 磁场 在二维系统里，有几个物理性质都有相对于费米能级的震荡行为。详见图12.7. Shubnikov-de Haas 震荡： 载流子浓度，可以由磁电阻震荡来决定，正比于费米能级处的态密度，即Shubnikov-de Haas效应。 图12.8是通过改变场和固定电子密度测量的。随1/B的周期性很明显。只有磁场垂直于层平面，才有这个效应。 图12.9是通过固定磁场改变电子密度测得的，电子密度是通过门电压控制的。 16 17 Fig. 12.7. Oscillatory (theory, T = 6 K) behavior of a 2DEG (GaAs/AlGaAs) in a magnetic field: (a) Fermi level, (b) magnetization, (c) specific heat, (d)thermoelectric power. A Gaussian broadening of 0.5meV was assumed. Adapted from 765, 838 18 19 3. 量子霍尔效应 在高磁场中，在低温和高迁移率条件下，二维电子气偏离经典行为。 回顾经典霍尔效应： 其中的零场电导率是 箭头指高场极限： 相应的电阻张量是： 20 3. 量子霍尔效应 整数霍尔效应： 下图12.10展示整数霍尔效应的实验结果，是在GaAs/AlGaAs二维电子气中的结果。 电阻值由下式给出： 其中，量子化电阻为： 这也叫von Klitzing常数。 在图12.10中，自旋劈裂在n=1（和n=2）时可以看见。最大的Hall台阶是由于全满的n=0对应的Landau能级。其电阻是rho0/2，由于自旋简并度2的关系。 通常假定态密度是非均匀展宽的，像图12.12a-c所示：峰中间是导电的，边上是局域化的，不导电。 21 22 Fig. 12.10. Hall resistivity xy and longitudinal resistivity xx for a modulationdoped GaAs/AlGaAs heterostructure (n = 4x1011 cm2, = 8.6x104 cm2/Vs) at 50mK as a function of magnetic field (10 kG=1T). The numbers refer to the quantum number and spin polarization of the Landau level involved. The inset shows schematically the Hall bar geometry, VL (VH) denotes the longitudinal (Hall) voltage drop. 23 Fig. 12.12. (a) Density of states D(E), (b) longitudinal conductivity xx and (c) Hall conductivity xy for a Landau level as a function of the filling factor = n/d, where n is the electron density and d the degeneracy of the level. (d) Normalized Hall potential profile for different magnetic fields around filling factor = 2. The overall voltage drop corresponds to 20 mV. The insets show the sample geometry and transport data. The 2DEG is from a GaAs/Al0.33Ga0.67As modulation-doped heterostructure, ns = 4.3x1011 cm2, = 5x105 cm2/Vs, T = 1.4K. 3. 量子霍尔效应 当费米能级与展宽的Landau能级的态密度交叉时，它首先占据局域态，sigmaxx=0。当费米能级处在扩展态时，纵向电导率出现一个峰，霍尔电导率多出一个单位（e2/h）。 分数霍尔效应： 在非常低的温度下，在极端量子极限下，当电子动能小于其库仑相互作用时，会出现新效应。新的量子霍尔峰在分数占有因子新的量子霍尔峰在分数占有因子niuniu=p/q=p/q时时被观察到被观察到。 图12.13展示实验分数量子霍尔效应。 分数量子霍尔效应的微观机理与整数量子霍尔效应不同，是多体效应导致的。 24 25 里面有整数，里面有整数，也有分数量也有分数量子霍尔效应。子霍尔效应。