二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节 微积分基本定理与 牛顿-莱布尼兹公式 第五五章 一、引例一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: )()(tvts=物体在时间间隔 内经过的路程为 )()(d)(1221TsTsttvTT=关系怎样？上述表达式是否具备普遍性？ 定义：定义：对于区间 I上的 如果存在可导函数 ( ),f x( )F x满足 ( )( )F xf x=或者 ( )( ),dF xf x dx=( )F x( )f x称 为 在区间 I上的原函数原函数。 ( )+F xC( )f x为 在区间 I上的全体原函数。 )()(d)(1221TsTsttvTT=速度函数在 上的定积分可以用它原函数在上 述区间上两个端点函数值之差来表示！ 二、积分上限的函数二、积分上限的函数 ( )xaf t dt( )x( )( )( ).xxaaxf x dxf t dt=是上限 的函数， x记为 ( ).x即 定理定理1 1 1）设 在 , a b上可积， 称 ( )x为积分上限函数 则积分上限函数 是 , a b上的连续函数. ( )f x)(xfy =xbaoy)(xxhx+积分上限函数的导数积分上限函数的导数 则变上限函数 =xattfxd)()(证证: , ,bahxx+则有 hxhx)()(+h1=+xahxattfttfd)(d)(+=hxxttfhd)(1)(f=)(hxx+只要证 0)( xF= ()20d)(ttfxxfx)()( )(xf)0(x三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 )()(d)(aFbFxxfba=( 牛顿牛顿 - 莱布尼兹公式莱布尼兹公式) 证证: 根据定理 1, 故 CxxfxFxa+=d)()(因此 )()(d)(aFxFxxfxa= 得 记作 定理定理2. 函数 , 则 例例4. 计算 解解: xxxarctan1d312=+13) 1arctan(3arctan=3=127=例例5. 计算正弦曲线 的面积 . 解解: =0dsinxxAxcos=01=12=)4(yoxxysin=内容小结内容小结 , )()(, ,)(xfxFbaCxf=且设则有 1. 微积分基本公式 =xxfbad)(积分中值定理 )(abF=)()(aFbF=微分中值定理 )(abf牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 备用题备用题 1. 设 求 2. 求 的递推公式(n为正整数) .