华中科技大学 数值分析实验报告数值分析实验报告 专业班级 水利水电工程1201班 学 号 M201273331 姓 名 潇 湘 夜 雨 指导老师 路 志 宏 2013 年 5 月 1 号实验实验 6.1 6.1 主元的选取与算法的稳定性主元的选取与算法的稳定性 问题提出: Gauss消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。 但由于计算机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss消去法从理论算法到数值算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 (R,R ) (R,R )n nnAXbAb 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数方程组的Gauss消去过程。 实验要求： （1）取矩阵6 18 6 1A= 8 6 18 6 ，7151514b ，则方程有解*T= (1,1,1)X. 取10n 计算矩阵的条件数.让程序自动选取主元,结果如何? （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并计算结果。若每步消去过程总选取模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验结果。 （3）取矩阵阶数20n或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4） 选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵， 计算其条件数。 重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。 解：解： 一、一、 基础知识基础知识 矩阵条件数矩阵条件数： 若 n 阶方阵A非奇异，称1AA为矩阵A的条件数，记为( )cond A，即1( )cond AAA。 矩阵的选择范数不同，可得不同的条件数。如 1 1111 2221( )( )( ) cond AAAcond AAAcond AAA定理：定理：设方程组Axb中系数矩阵A有扰动A，右端向量b有扰动b，对应的解向量x产生误差仍记为x，即()()AxbAxb，则当11AA时有 ( )() 1( )xAbAcond A xAbcond AA 显然11( )1cond AAAAAI.当( )cond A接近于 1 时，称方程组是良态的；当( )1cond A时，称方程组是病态的。对于病态方程组，无论采用什么 方法求解，都将会很大的计算误差。 二、求解过程二、求解过程 （1 1）利用）利用 MATLABMATLAB 运算具体过程如下：运算具体过程如下： 10n 时 A= 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 b=(7 15 15 15 15 15 15 15 15 14)T *(1,1,1)TX 显然，*(1,1,1)TX 是方程组 (R,R ) (R,R )n nnAXbAb的精确解。 矩阵A的 2 条件数为 2( )cond A=1727.6 此条件数远远大于 1，说明此方程组是病态的，无论采用什么方法求解，都将会 很大的计算误差。 增广矩阵 bA为 bA= 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 15 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 15 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 15 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 15 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 15 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 15 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 15 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 14 程序解线性方程组方式： 自动（0） 手动(1) 列选（2） 全选（3） 求解结果为： (1,1,1)TX 分析：程序自动选取主元的时候，采用的是列主元消去法，由求解结果可知列主元消去法对方程组进行求解得到的结果比较准确。 （2 2） 现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总按模最小或按模尽可能小的元素选取作为主元，求解结果为： (,)TXNaN NaNNaN 然而，每步消去过程总按模最大或按模尽可能大的元素选取作为主元， 求解结果为： (1,1,1)TX 分析：由条件数可知，此方程组是病态的。比较上述两种选取主元的方法可知，采用每一步消去过程总选取按模最大或按模尽可能大的元素作为主元的选取方法最终得到的方程组的解更为精确，这是因为在计算过程中，选取主元可以人为地避免了大数除小数（甚至为 0）而造成误差的扩大，而每一步消去过程总选取按模最小或按模尽可能小的元素作为主元的选取方法最终得到的解会有误差（甚至得不到正确解） 。 （3 3） 20n时 A= Columns 1 through 16 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 17 through 20 0 0