82第四章 可 测 函 数为了建立新的积分，我们已经对中的一般集合定义了测度概念. 在本章中我们将定义nR 可测函数的概念，讨论可测函数的性质. 我们会看到，可测函数类是包含连续函数类的一种 范围相当广泛的函数类. 这个函数类对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的. 我们还要讨论可测函数与连续函数的关系，从而进一步研究可测函数的结构. 最后研究可测 函数的几种不同类型的收敛概念及其相互关系，使我们对可测函数有较深刻的理解. 1 可测函数及其性质教学目的：教学目的：使学生了解可测函数的原始定义及等价命题，掌握其运算性质。 本节重点：本节重点：可测函数的定义及性质，几乎处处的概念。在本书引言中指出，定义新的积分需要研究什么样的函数，使得对任何实数，( )f x, a b点集都有“长度” ，即都是可测集. :( )x af xb可测函数的概念就是由此产生的. 因为本章讨论的函数可以取值，所以在给出可测 函数概念之前，我们要介绍有限函数的概念和包含在内的实数运算的规定. 设，称是上的有限函数，是说对任意的，函数值都是有限nER( )f xExE( )f x实数. 包含在内的实数运算作如下规定：（i），；()() ()() （ii）对任意的有限实数，；a()a ()a （iii）对任意的，0b 0c ，b ()b ，；c ()c （iv），() ()() () . () ()() () 而，()() ()() ()() ()() 83，认为是没有意义的. 在一般情况下，也是不允许的. 0 () 定义 4.1.1 设是定义在可测集上的函数，如果对任何有限实数，( )f xnERa都是可测集，则称为定义在上的可测函数，或者说， :,( )E fax xE f xa( )f xE在上可测. ( )f xE例 1 区间上的连续函数及单调函数都是可测函数. , a b证明 若是上的连续函数，对任意的实数，往证是开集，任( )f x , a bc :( )x f xc取，则，由连续函数的保号性知，存在，使得当0 :( )xx f xc0()f xc0时，有，所以. 所以是00(,)xxx( )f xc00(,)xx :( )x f xc0x的内点. 因此是开集. 从而是可测集，于是 :( )x f xc :( )x f xc :( )x f xc在上可测. ( )f xE若是上的单调函数，不妨设是上的单调增加函数，对任意的实数( )f x , a b( )f x , a b. c当时，是空集，因而是可测集； ( )f bc :( )x f xc当时，也是可测集. ( )cf a :( )x f xc , a b若时，令，则( )( )f acf b0inf :( )xx f xc当时，；0()f xc :( )x f xc0, x b当时，. 0()f xc :( )x f xc0(, x b因此，当时，也是可测集. ( )( )f acf b :( )x f xc综合以上，是上的可测函数. ( )f x , a b定理 4.1.1 设是可测集上的函数，则（i） ， （ii） ， （iii） ， （iv）是等价的. ( )f xnER（i）是上的可测函数；fE（ii）对任何实数，是可测集；aE fa84（iii）对任何实数，是可测集；aE fa（iv）对任何实数，是可测集. aE fa证明 （i）（ii） ，因为对任意的实数，. 所以aE fa11nE fanI若在上可测，则是可测集，因而是可测集. ( )f xE11nE fanIE fa（ii）（iii） ，因为对任意的实数，. 所以若是aE faEE faE fa可测集，则是可测集. E faEE fa（iii）（iv） ，因为对任意的实数，所以若对任意的aE fa11nE fanI实数，是可测集，则是可测集. aE fa11nE faE fanI（iv）（i）若对任意的实数，是可测集，则是aE faE faEE fa可测集，所以由可测函数定义知是上的可测函数. fE在本节开头，我们曾提出什么样的函数，使得对任意的实数，点集( )f x, a b :x都是可测集. ( )af xb有了可测函数的定义，我们有下面的结果：若是上的可测函数，则对任何实数，点集是可测集. 反fE, a b ()abE afb之，如果是可测集上的有限函数，若对任何实数，点集是可fE, a b ()abE afb测集，则是上的可测函数. fE证明 因为，所以若是上的可测函数，则E afbE faE fbfE和都是可测集，因而是可测集. E faE fbE afb反之，如果是可测集上的有限函数，若对任何实数，是fE, a b ()abE afb可测集，则因为85. 1nE fbEnbfb U所以是可测集. 1nE fbEnbfb U由定理 4.1.1 知是上的可测函数. fE推论 设在上可测，则对任何实数，是可测集，( )f xnERaE fa及也是可测集. E f E f 证明 因为，由于在上可测，由定理 4.1.1 知E faE faE fafE是可测集. 而E fa；. E f 1nE fnIE f 1nE fn I所以由定理 4.1.1 知和是可测集. E f E f 为了讨论中一般可测集上连续函数的可测性，我们给出中一般点集上连续函nREnRE 数的定义. 定义 4.1.2 定义在上的实函数称为在连续，是说，如果nER( )f x0xE有限，而且对于的任一邻域，总存在的某邻域，使. 00()yf x0yV0xU()f UEVI即只要且时，就有. xExU( )f xV如果在中每一点都连续，则称在上连续. ( )f xE( )f xE定理 4.1.2 可测集上的连续函数是可测函数. nER证明 对任意的实数，往证是可测集. aE fa设，由连续函数局部保号性，存在的某邻域，使xE fax( )U x. ( )U xEE faI令，则( )x E faGU xU. ( )( ( )x E fax E faGEU xEU xEE faIIIUU86另一方面，显然有，因此，所以. E faGE faGEIE faGEI因此是可测集，因而是可测函数. E fa( )f x定理 4.1.3 （i）设是上的可测函数，则在的任一可测子集上( )f xnER( )f xE1E也可测；（ii）设是至多可数个可测集的并集，是上的函数，则在nERiE( )f xE( )f x上可测的充分必要条件是在每个上可测. E( )f xiE证明 （i）设是可测集，因为对任意的实数，1EEa11E faEE faI所以是可测集，因而是上的可测函数. 1E fa( )f x1E（ii）必要性. 若在上可测，由（i）知在每个上可测. ( )f xE( )f xiEE充分性. 设在每个上可测，因为对任意的实数，( )f xiEai iE faE faU所以是可测集，因而在上可测. E fa( )f xE下面的定理说明可测函数类对四则运算是封闭的. 引理 1 设与为上的可测函数，则与都是可测集. ( )f x( )g xEE fgE fg证明 因为，所以只须证明是可测集. E fgEE fgE fg设，则，存在有理数，使，即0xE fg00()()f xg xr00()()f xrg x. 0xfrE grI反之，若存在有理数，使，则. r0xE frE grI0xE fg设有理数全体为，则12 ,nr rrLL. 1( )nn nE fgE frE grIU由和是可测函数，等式右端是可测集，所以是可测集. ( )f x( )g xE fg定理 4.1.4 设和都是上的可测函数，则下列函数都是上的可测函数. ( )f x( )g xEE（1），为任意实数；（2）；（3）；（4）( )af xa( )( )f xg x( )( )f xg x87；（5）. ( )( ( )0)( )f xg xg x|( )|f x证明 （1）当时，是常数函数，因而是连续数，所以是可测函数. 当0a ( )af x时，对任何实数，是可测集，所以是上的可测0a c,0; ,0.cE faaE afccE faa afE函数. （2）对任意的实数，是可测函数，这是因为对任意的实数，a( )g xac. E gacE gca由是可测函数，是可测集，因而是可测函数. gE gca( )g xa这样，对任意的实数，是可测函数，由（1）aE fgaE fga g是可测函数，由上面说明是可测函数，由引理 1是可测集，因此ggaE fga是上的可测函数. ( )( )f xg xE（3）先证是上的可测函数，对任意的实数，有2( )fxEa2;,E faE faE faE U0; 0,a a 因而是可测集，所以在上可测. 而2E fa2( )fxE，2221( )( )()2f xg xfgfg所以由（1） ， （2）及可测知是上的可测函数. 2f( )( )f xg xE（4）先证可测. 对任意的实数，1 ga若 若8810,110,0E gE gaEaE gE ggaE gE g IU是可测集，所以是可测函数，而，由（3）是上的可测函数. 1 g1ffggf gE（5）对任意的实数，a,|,E fafaEfaE U0;0.a a 是可测集，所以是上的可测函数. |( )|f xE定义 4.1.3 设是可测集，是的互不相交的可测子集，且nER12,mE EELE，是常数，则称上的函数，,是1mi iEEU12,mC CCLE( )ixCixE1,2,imL上的简单函数. E显然有. 其中是的特征函数. 1( )( ) imiE ixCx( ) iExiE例 6 可测集上的简单函数是可测函数. nER( )x证明 设是上的简单函数，. 对每一( )xnER( )ixCixE1,2,imL个，在上是常数函数，因而连续，所以可测. 即在每一个1im ( )xiE( )xiE上都可测，由定理 4.1.2 的（ii） ，