习题二习题二1. 设， ， 111111111A 150421321B求及.AAB23BAT 解解：,229420172221322222222220276181502415011111111120926508503 111111111211413151)2(12101) 1(11111413151)2(12101) 1(11111413151)2(12101) 1(1113 1111111112150421321111111111323 AAB. 092650850150421321111111111150421321111111111 TTBA2. 求下列矩阵的乘积：AB(1) ， ；)3, 2, 1 (A 201 B解解：. 7)230211 ( 201) 3, 2, 1 ( AB(2) ， ； 012132A 103121B解解：.12112514710) 1(10021) 3(01112) 1(10221) 3(21113) 1(20322) 3(312103121012132 AB(3) ， ； 20121301A 431102311014B解解：(4) .119912942103102320011121220) 1(14241133001310310111123) 1(04143110231101420121301 AB， ； 1111A 2121B解解：.0000212111112121111121211111 AB(5) ， ； 122412A 2412B解解：. 0000002112412222144224211241222412122412 AB(6) ， .nnncbacbacbaA222111 200010000B解解：.2020202000100002000100002000100002000100002211222222222111111111222111nnnnnnnnnnnnnncbcbcbcbacbacbacbacbacbacbacbacbacbacbacbaAB3. 求下列矩阵的乘积：(1) ；nnbbbaaa2121解解：.22112121nnnnbabababbbaaa(2) ;nnbbbaaa2121解解： .nnnnnnnnbabababababababababbbaaa2122212121112121(3) . 321332313232212131211321 xxxaaaaaaaaaxxx解解：.2223223311321122 3332 2222 111321333223113323222112313212111321332313232212131211321xxaxxaxxaxaxaxaxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxxaaaaaaaaaxxx 4. 证明矩阵乘法的下列性质：(1) ; (2) .ACABCBA)(BAAB)()(证明：略.5.证明：(1) 对角矩阵与对角矩阵的乘积仍是对角矩阵； (2) 上(下)三角矩阵与上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵. 证明：略.6. 设，求所有与A可交换的矩阵. 100110011A解解：要求与A可交换的矩阵，该矩阵应为 3 阶方阵，设其为333222111zyxzyxzyx依题意有， 333222111333222111100110011100110011zyxzyxzyxzyxzyxzyx即， 333323232212121333332222211111zyxzzyyxxzzyyxxzyyxxzyyxxzyyxx因此，.0332yxx321zyx21zy 所以与A可交换的矩阵为，其中，为任意实数. 111111000xyxzyx1x1y1z7. 设 A, B 是 n 阶方阵，试述下列等式成立的条件：(1) ;2222)(BABABA(2) .22)(BABABA解解：(1) ,222)()()()(BABBAABBAABABABABA要使,则 .2222)(BABABABAAB (2) ,要使22)()()(BABBAABBAABABABA, 则 .22)(BABABABAAB 8. 计算下列矩阵(其中 k, n 都是正整数)：(1) ；34321 解解：. 2221141343211096543214321432143213(2) ；n 0110解解：， 10010110011001102 011001103，由此推测 . 100101104 2cos2sin2sin2cos0110 nnnnn分情况证明：i 为非负整数，当 n=4i+1 时， 01102) 1(4cos2) 1(4sin2) 1(4sin2) 14(cos0110 iiiin当 n=4i+2 时， 10012)2(4cos2)2(4sin2)2(4sin2)24(cos0110 iiiin当 n=4i+3 时， 01102) 3(4cos2) 3(4sin2) 3(4sin2) 34(cos0110 iiiin当 n=4i+4 时，. 10012)4(4cos2)4(4sin2)4(4sin2)44(cos0110 iiiin(3) ；n 2312解解：，因此当 n 为偶数 1001 2312 2312 23122 2312 23123时，当 n 为奇数时，. 10012312n 23122312n(4) ;kn21解解：,2 n2 22 12n21推测 .k nk 2k 1n21k利用数学归纳法证明，显然当 m=1,2 时，结论成立.假设当 m=k-1 时，结论也成立，那么当 m=k 时，. k nk 2k 1n211 -k n1 -k 21 -k 1n211 -n21n21kk(5) ；n100010101解解：， 1000102011000101011000101011000101012推测， 10001001100010101nn利用数学归纳法证明，显然当 k=1 时成立，假设当 k=n-1 时也成立，那么当 k=n 时， 有. 100010011000101011000101011000101011000101011000101011 -nnnn(6) ；n001001解解：， 2222002012001001001001001001,