9.2 两条直线的位置关系第九章 平面解析几何基础知识 自主学习课时作业题型分类 深度剖析内容索引基础知识 自主学习1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2.()当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2 .()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.知识梳理k1k2k1k21(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组 的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2| .(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d .(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d .1.直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC).(2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR).2.两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是 .【知识拓展】A1B2A2B103.两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是 .4.过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.A1A2B1B20题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.( )(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.( )(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.( )基础自测123456(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为 .( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于 ，且线段AB的中点在直线l上.( )123456题组二 教材改编2.已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于 解析答案1234563.已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m .解析123456答案1所以m42m，所以m1.题组三 易错自纠4.(2017郑州调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于 A.2 B.3 C.2或3 D.2或3解析 直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，解析123456答案5.直线2x2y10，xy20之间的距离是 .解析答案1234566.若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a .解析0或1答案解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.123456题型分类 深度剖析典例 (2018青岛模拟)已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1l2，且l1过点(3，1)；题型一 两条直线的位置关系师师生共 研解答解 由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，k20，即k1，k2都存在且不为0.又l1过点(3，1)，3ab40. (*)由(*)(*)联立，解得a2，b2.(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.解答解 l2的斜率存在，l1l2，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.思维维升华华跟踪训练 已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；解答解 方法一 当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；综上可知，当a1时，l1l2.方法二 由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，故当a1时，l1l2.(2)当l1l2时，求a的值.解答解 方法一 当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，解析答案题型二 两直线的交点与距离问题自主演 练练而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线.两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.2.若直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为 .解析x3y50或x1答案解析 方法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意.即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.思维维升华华解析题型三 对称问题多维维探 究解析 设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点1 点关于点中心对称典例 过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 .x4y40答案命题点2 点关于直线对称典例 如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 解析答案解析 直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，命题点3 直线关于直线的对称问题典例 已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.解答解 在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上.设对称点M(a，b)，得N(4,3).又直线m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.解决对称问题的方法(1)中心对称思维维升华华直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练 已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；解答解 设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，又PP的中点在直线3xy30上，把x4，y5代入得x2，y7，点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7).(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；解答解 用分别代换xy20中的x，y，化简得7xy220.(3)直线l关于(1,2)的对称直线.解答解 在直线l：3xy30上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M(x，y)，l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.妙用直线系求直线方程思想方法思想方法指导规范解答一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例1 求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程.思想方法指导 因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1).规范解答解 由题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.思想方法指导规范解答二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.典例2 求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.规范解答解 因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点A(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.思想方法指导三、过直线交点的直线系典例3 (2017湖南东部十校联考)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为 .思想方法指导 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.解析答案4x3y90所求直线与直线3x4y70垂直，即4x3y90.代入4x3ym0，得m9，故所求直线方程为4x3y90.方法三 由题意可设所求直线方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140， 又所求直线与直线3x4y70垂直，3(2)4(33)0，2，代入式得所求直线方程为4x3y90.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x