单电子原子轨道报告底稿大家好。我是应化 0904 杨旭明，我报告的题目是单电子原子轨道。 大家看，标题的左边，是一个蝴蝶形状的 3d 轨道，而标题的右边，是 3d 轨道 形状的蝴蝶。微观的世界和宏观的世界，竟然有这样好的形似。在认知世界的 过程中，我们习惯将过于宏大或者过于细微的东西，用现实可感的物体来象征 比喻。 （点击鼠标） 研究天体运动，我们将天体比作小球，研究电子运动，我们也比喻为小球，不 过似乎出了什么问题。 （点击鼠标）星球抽象为小球，似乎是理所应该，无可厚 非，而电子抽象为小球，似乎也是理所应该，无可厚非。 似乎终归是似乎，不是确定。而已经确定的是，电子既有波动性，又有粒 子性，而经典物理学中，没有粒子性的波，也没有波性的粒子。 这是一个血淋淋的事实。量子力学中，电子的波粒二象性不容忽略。对于 这个认识，江湖纷争了很久。大伙立场不同，观点不同，各执一词。很多人煞 费苦心，这些人有牛顿、道尔顿、康普顿，巴尔默、波尔、狄更斯、惠更斯、 托马斯、戴维逊、汤姆逊、德布罗意、爱因斯坦等。最后他们得到了一个折衷 的结论：波粒二象性。 这下好了，电子不是小球了，大伙也不知道电子是什么了，既是波也是粒 子，这说法很玄乎。如何来描述电子的运动，大家犯难了。大家陷入了无奈与 迷惘中。这时候，薛定谔出场了，以一个英雄的姿态。他给出了一个方程。 （点 击鼠标） 薛定谔可以说是天才过人，却也是大器晚成，他提出波动方程的时候已经 39 岁了。科学史家们作了些努力，试图搜索出薛定谔发现永久改变现代物理学 和化学面貌的方程时究竟做了什么。薛定谔是自由之爱的信奉者，并且一直由 情人们或者他的妻子陪伴着度假。他甚至保留有一份关于他所有为数众多的情 人们的详细日记存档，对每一次相会都精心作了编码。历史学家现在认为，在 他发现方程的那个星期，和一位女友住在阿尔卑斯山的赫维格别墅。 （点击鼠标）人不会无缘无故的伟大。从薛定谔的事迹可以看出，有爱才有奇迹，有爱 才能伟大。说到这里，不经感叹自己为什么这样碌碌无为，我扯大家后腿了。 不过老师还是可以欣慰的，因为在座的各位很有爱。 言归正传，大家看看这个单电子原子的定态薛定谔方程。注意，我用了两 个修饰词。这不是一般状态的薛定谔方程，是单电子原子的定态薛定谔方程。 每个符号的意思，大家都明白。是拉普拉斯算符，表示二重偏微分。Z 表示2 单电子原子的电荷， 表示约化质量。E 表示动能。 即波函数，它决定了电 子在空间的概率密度分布。 （点击鼠标）我一直没有转过弯来，不太明白这其中 的逻辑关系。但是，出于对波恩和薛定谔两位前辈的崇拜和敬重，我还是接受 这种论述。 这个二重偏微分方程，看似很精简，但求解很困难。 （点击鼠标） 这样的困难很少是为难我们普通民众的，为难的是那些科学家们。我们只 是旁观者，我们只看热闹。这个方程，经坐标转换，从笛卡尔坐标系转为球极 坐标系，奇迹出现了。 （电极鼠标）薛定谔的伟大，不是那么简单的。新的方程， 可以进行变量分离。生活中总是充满希望，峰回路转，车到山前还有路。 越过了新的屏障，看到了新的风景，大家舒了一口气，很开心。我们进入了一种矮子看戏的兴奋状态。 （点击鼠标）矮子看戏，讲的是大伙在看戏，戏唱 的非常好，观众鼓掌喝彩。一个矮子在后头，什么也看不到，甚至都听不到， 但也跟着喝彩，其实完全不知道唱的是哪出戏。我觉得吧，个中精彩，还是自 己亲眼瞧瞧的好。 （点击鼠标） 好了，波函数求解出来了， 出来了，2-r 图也就很容易出来了。这是 最简单的图。大家会下围棋的也许不多，但肯定都知道围棋，黑白两色，除了 简单，还很神秘。1+1=2 这个等式，大家也很熟悉，这个计算，我在二十多年 前就会了。它是世界上最伟大的十个公式之一，薛定谔方程也是其中的一个。 它除了简单，还很深邃。2-r 图呢，除了简单，还有什么？除了简单，还是简 单。抛弃了 和 ，意味着不能表征 和 的信息，因此只用于表示 S 态 的分布。 右图是 1s、2s 和 3s 态的 2-r 图。这个图，很简单，我不多说了。2-r 图表示的是，随半径变化，电子出现的概率，我们也很想知道 d 轨道和 p 轨道上，随半径变化，电子出现的概率是怎么变化的。于是，有了径向分 布图。 （电极鼠标） 它没有抛弃 和 ，是通过下面的等式计算出半径为 r 的球面和 r+dr 的 球面之间电子出现的概率。径向函数也应该是这样得到的。 （点击鼠标） 大家看到这幅图。这是 3p 电子的径向分布图。由计算出的径向分布函数表 达式或者画出的一系列径向分布图，容易知道，主量子数为 n、角量子数为 l 的状态，径向分布图中有（n-l）个极大值峰和（n-l-1）个为 0 值的点，主峰位 置随 l 增加而向核靠近。 （点击鼠标） 利用完了径向函数，自然轮到球谐函数了。 （点击鼠标） 根据薛定谔方程解得 s、p 和 d 轨道的角度分布函数。 （电极鼠标） 径向分布，主要决定原子轨道的大小，角度分布主要决定原子轨道的形状。 （点击鼠标） 这里所做的一切，不是随意玩玩，而是有目的的，这一切都是服务于原子 轨道图的绘制。 （点击鼠标） 大家细心观察一下，s 轨道，p 的 3 条轨道，d 的 5 条轨道。这些球谐函数， 貌似不那么单纯，而是隐藏了玄机。 （点击鼠标） （点击鼠标） 通过角度函数，得到 s、p 和 d 轨道的角度分布图。 （停顿 3s，点击鼠标） 所谓玄机，表示屏幕上的这个等式。 这一关系称为球谐函数的加法定理， 它表明任一亚层上各个轨道电子云的角度分布总和各个方向是相同的，为球形 分布，与 和 无关。 （点击鼠标） 好了，现在我们来看原子轨道怎么绘制。我先问大家一个问题，苹果怎么 画？（电极鼠标）这样画，比较可爱， （点击鼠标） ，这个苹果其实大家更加喜 欢。 （点击鼠标）还可以这样画截面图，可以看到里面。 （点击鼠标） 以上三个都是苹果，大家一看都能明白，即便是被乔帮主咬过。这样画， 算不算成功呢？（点击鼠标）这不过是苹果的轮廓图或切面图，通过它们，我 们不能知道苹果皮下 1cm 处的营养成分，不能定位糖分含量最大的区域。空间 立体位置，加上营养成分，数学上，可以用 4 维矩阵表示，而画图，却是难上 加难。 （点击鼠标）我们面临了四维图难以表征的困难。 （点击鼠标） 前面我们已经说道了，薛定谔方程的解可以进行变量分离。 （点击鼠标）这 是什么意思呢？（点击鼠标）这是说在半径一定的情况下，苹果营养成分的分布相对大小取向是相同的。 薛定谔的猫很让人抓狂，据说霍金看到了薛定谔的猫，抓狂到想用猎枪把 那只猫给毙了。 但是，薛定谔的苹果，给了大家很多欣慰。 （点击鼠标） 大家再看到这三个苹果。这的确是苹果，这样画苹果已经很好很成功了。 （点击鼠标） 这其中，我们经历了 3 重境界，从普通苹果，到诡异苹果，再到普通苹果。 （点击鼠标）看山是山，看水是水，到看山不是山，看水不是水，再到看山还 是山，看水还是水。这算不算是收获呢？（停顿 3s，点击鼠标） 原子轨道图像的形状，主要由其角度分布图决定，而原子轨道图像的大小， 主要是由其径向分布图决定。为方便起见，通常采用原子轨道的角度界面图近 似代替原子轨道图像。也就是说，苹果，我们还是那样画。大家要注意，轨道 的等值面图的绘制，跟这不一样，那是用到了四维矩阵的。 （点击鼠标） 说了这么久，让我们来看一下原子轨道图的庐山真面目。 （停顿 5s，点击 鼠标）横看成岭侧成峰，即便我们做了这么多努力，其实看到的也不过是某个 侧面的特征，不能完全表示原子轨道。表征信息量再丰富的苹果，也不及一个 真正可以吃的苹果。 （点击鼠标） 讨论了这么久，给大家留几个问题。 第一个问题，本征函数的正交性是由它们的对称性决定的。原子轨道的正 交性你是怎么理解的？数学上，我们只是给了个冰冷的描述，乘积为零，现在， 轨道不是一条直线，不是一个向量，它的正交是什么意思呢？ 第二个问题是关于氢原子光谱实验的。这个实验，很多人都做过，也求过 海森堡常数。我们观察到的四条谱线，属于巴尔默谱线系，是 n=3，4，5，6 的 能态跃迁到 n=2 的能态发出的谱线，而 n=3，4，5，6 的轨道都有相应的亚层 轨道，也就是说不应该只是 4 条分立的谱线，如何解释？ 3s、3p、3d、4s、4p、4d、4f 等跃迁 n=2 的轨道，只有四条分离的谱线。 第三个问题是多电子原子的薛定谔方程不能变量分离，变分法的处理手段 你能接受吗？线性自轭算符和线性变分法是不是假设与现实的统一？如果是， 那么是鸡生蛋呢还是蛋生鸡？ 我功力还很浅薄，难免有些错误。谢谢大家。