第一节 数列的概念与简单表示法三年2考 高考指数:1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2了解数列是自变量为正整数的一类函数.1.根据数列的递推关系求通项公式和已知前n项和Sn求an是高考考查的重点.2.多在解答题中出现，属中档题目.1.数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义数列：按照_排列的一列数.数列的项：数列中的_.一定顺序每一个数(2)数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数 项与项间的大小关系 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 项数_项数_an+1_an an+1_an an+1= an 其中nN* 有限无限an.数列an是递增数列.答案：递增(4)数列9，99，999，的通项公式an=_.【解析】9=10-1，99=102-1，999=103-1，,an=10n-1.答案：10n-12.数列的递推公式如果已知数列an的_(或_)，且任何一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式.第一项前几项【即时应用】(1)已知数列an中，a11， 则a5_.(2)数列an满足a10，an+1an2n，则an的通项公式an_.【解析】(1) (2)由已知，an+1an2n，故ana1(a2a1)(a3a2)(anan-1)0242(n1)n(n1)答案: (1) (2)n(n1)3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则【即时应用】(1)数列an的前n项和Sn=n2+1,则an=_.(2)数列an的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan,则an=_.【解析】(1)当n=1时，a1=S1=2;当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2+1)-(n-1)2+1=n2-(n-1)2=2n-1,将n=1代入an=2n-1得a1=12.(2)当n2时，an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,an=an-1(n2)，又a1=1,an=1.答案：(1) (2)1已知数列的前几项归纳数列的通项公式【方法点睛】求数列的通项时，要抓住以下几个特征(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)-1,7,-13,19,(2)0.8,0.88,0.888,(3) 【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑.(2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,和数列0.9,0.99,0.999,的关系着手.(3)分子规律不明显，从考虑分子与分母的关系着手.【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an=(-1)n(6n-5).(2)数列变为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),(3)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为原数列化为【反思感悟】1.解答本题(3)时有两个困惑：一是首项的符号，二是各项分子规律不明显.解答时从分子与分母的关系入手，是求解的关键.2.归纳通项公式应从以下四个方面着手：(1)观察项与项之间的关系；(2)符号与绝对值分别考虑；(3)分开看分子、分母，再综合看分子、分母的关系；(4)规律不明显时适当变形.【变式训练】根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式.(1)3,5,7,9，.(2)(3) 【解析】(1)各项减去1后为正偶数,an=2n+1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，.(3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(-1)n，各项绝对值的分母组成数列n,分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3.即奇数项为2-1，偶数项为2+1.【变式备选】根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式.(1)2，5，8，11；(2)1，4，9，16.【解析】(1)a1=31-1=2a2=32-1=5a3=33-1=8a4=34-1=11an=3n-1.(2)a1=12=1a2=22=4a3=32=9a4=42=16.an=n2.已知Sn求an【方法点睛】已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n=1和n2两种情况讨论；特别注意an=Sn-Sn-1中需n2.(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”.(3)由Sn-Sn-1=an推得an，当n=1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即【例2】已知数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.(1)Sn=2n2+3n；(2)Sn=3n+1.【解题指南】解决本题的关键是明确通项公式an与前n项和Sn的关系，利用 进行求解.【规范解答】(1)由题可知，当n=1时，a1=S1=212+31=5，当n2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-2(n-1)2+3(n-1)=4n+1.当n=1时，41+1=5=a1,an=4n+1.(2)当n=1时，a1=S1=3+1=4，当n2时，an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=23n-1.当n=1时，231-1=2a1，【反思感悟】解答此类题目易犯的错误是没有分n=1和n2两种情况求解，而是直接根据an=Sn-Sn-1求得an.【变式训练】已知数列an的前n项和为Sn，求下列条件下数列的通项公式.(1)Sn=25n-2;(2)Sn=23n-1-1.【解析】(1)当n=1时，a1=S1=25-2=8.当n2时，an=Sn-Sn-1=25n-2-25n-1+2=85n-1.当n=1时,8-=8=a1，故an=85n-1.(2)当n=1时，a1=S1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1=23n-1-1-(23n-2-1)=23n-1-23n-2=23n-2(3-1)=43n-2.当n=1时， 故数列an的通项公式为：由递推公式求数列的通项公式【方法点睛】1.“累加法”求an已知a1且an-an-1=f(n)(n2)，可以用“累加法”，即an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).所有等式左右两边分别相加，代入a1得an.2.“累乘法”求an已知a1且 可以用“累乘法”，即 所有等式左右两边分别相乘，代入a1得an.【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.【例3】根据下列条件，确定数列an的通项公式.【解题指南】(1)求an-an-1，累加求和并验证n=1的情形.(2)求 累乘求积并验证n=1的情形.【规范解答】(1)(2)【互动探究】将本例(1)中 改为如何求解？【解析】【反思感悟】解答此类题目应注意两个方面的问题：一是何时应用“累加”或“累乘”法，可从所给递推公式的结构上分析.二是如何“累加”或“累乘”，这是求通项公式an的关键，应注意对“累加”式或“累乘”式的变形.【变式备选】求出满足条件a1=0,an+1=an+(2n-1)(nN*)的数列的通项公式.【解析】由题意得，an-an-1=2n-3(n2),an=a1+(a2-a1)+ +(an-an-1)=0+1+3+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2，又a1=0适合上式，所以数列的通项公式为an=(n-1)2.【易错误区】忽视数列的项数n的范围致误【典例】(2012大连模拟)已知数列an满足a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为_.【解题指南】先用“累加法”求出an，再根据 的单调性求最小值.【规范解答】an+1-an=2n，an-an-1=2(n-1)，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(2n-2)+(2n-4)+2+33=n2-n+33(n2)，又a1=33适合上式，令f(x)=x+ -1(x0),则f(x)=令f(x)=0得当0 时，f(x)0，即f(x)在区间(0， )上递减；在区间( ，+)上递增.又5f(6)，当n=6时， 有最小值答案：【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议： 误区警示 在解答本题时，以下几点容易出错：(1)an求错；(2)求 的最小值时，直接使用基本不等式，忽视了等号成立的条件；(3)求 的最小值时，误认为是n=5时的值最小.备考建议解决此类数列问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)用“累加法”求an时，不要忘记加上a1;(2)在用基本不等式求 的最小值时，由于等号成立的条件(n= N*)不满足，故不能使用基本不等式求最小值，而应借助函数的单调性求解.1.(2012珠海模拟)设数列an的前n项和Sn=n2+n,则a7的值为( )(A)13 (B)14 (C)15 (D)16【解析】选B.a7=S7-S6=(72+7)-(62+6)=14.2.(2012中山模拟)数列 的第10项是( )【解析】选C.由已知得数列的通项公式3.(2012杭州模拟)已知数列an，若a1=b(b0), (nN*),则能使an=b成立的n的值可能是( )(A)14 (B)15 (C)16 (D)17【解析】选C. 故数列an是以3为周期的数列.a16=a1=b.4.(2011浙江高考)若数列n(n+4)( )n中的最大项是第k项，则k=_.【解析】由题意得不等式组解得 故k=4.答案：4