1复习课复习课( (一一) ) 解三角形解三角形利用正、余弦定理解三角形对于解三角形的考查，命题多利用正、余弦定理，三角形内角和定理来求边和角，其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等考点精要解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由ABC，求第三个角(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由ABC，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边典例 设锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2bsin A.(1)求B的大小；(2)若a3，c5，求b.3解 (1)由a2bsin A，根据正弦定理得 sin A2sin Bsin A，所以 sin B ，1 2由于ABC是锐角三角形，所以B. 6(2)根据余弦定理，得b2a2c22accos B2725457，所以b.7类题通法利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系题组训练1在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin 3C2sin B，则A( )3A30 B60C120D1502解析：选 A 由正弦定理可知c2b，则 cos A3b2c2a2 2bc 3bcc22bc，所以A30，故选 A. 3bc2 3bc2bc322在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则 63B_.解析：依题意得，由正弦定理知：，sin B，又 0a，可1sin 63sin B32得B或. 32 3答案：或 32 33ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求 cos B的最小值解：(1)证明：a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得 sin Asin C2sin B.sin Bsin(AC)sin(AC)，sin Asin C2sin(AC)(2)a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cos B ，a2c2b2 2aca2c2ac 2ac2acac 2ac1 2当且仅当ac时等号成立cos B的最小值为 .1 2三角形形状的判定判断三角形的形状是一种常见的题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等考点精要三角形中的常用结论(1)ABC， .AB 2 2C 2(2)在三角形中大边对大角，反之亦然3(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边典例 在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断该三角形的形状解 (a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2sin Acos B.由正弦定理得 2sin2Acos Asin B2sin2Bsin Acos B，即 sin 2Asin Asin Bsin 2Bsin Asin B.0A，0B，sin 2Asin 2B，2A2B或 2A2B，即AB或AB. 2ABC是等腰三角形或直角三角形类题通法根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角(2)化角为边，转化的手段主要有：通过正弦定理实现边角转化；通过余弦定理实现边角转化；通过三角变换找出角之间的关系；通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状题组训练1在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为( )A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形解析：选 D cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得 sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，cos A(sin Bsin A)0，cos A0 或 sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)故ABC为直角三角形或等腰三角形 22在ABC中，已知 3b2asin B，且A，B，C成等差数列，则ABC的形状为( 3)A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选 C A，B，C成等差数列，AC2B，即 3B，解得4B.3b2asin B，根据正弦定理得 3sin B2sin Asin Bsin 333B0，32sin A，即 sin A，即A或，当A时，AB 不满足条332 32 32 3件A，C.故ABC，即ABC的形状为等边三角形 3 33在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n，且满足|mn|.(cos3A 2，sin3A2)(cosA 2，sinA 2)3(1)求角A的大小；(2)若bca，试判断ABC的形状3解：(1)因为|mn|，所以|mn|23，即m2n22mn3.又因为m2n21，3所以mn ，所以 coscos sinsin ，所以 cos A ，1 23A 2A 23A 2A 21 21 2又 0A，所以A. 3(2)因为bca，所以 sin Bsin Csin A .333 2所以 sin Bsin ，(2 3B)3 2化简得 sin.(B 6)32因为 0B，0B，2 3 65 6所以B或， 6 32 3所以B，C或B，C，所以ABC为直角三角形 6 2 2 6正、余弦定理的实际应用正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试题以解答题为主，难度一般考点精要(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置典例 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西 60方向的B处，且与岛屿A相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向5航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin 的值解 (1)依题意，BAC120，AB12 海里，AC10220(海里)，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得BC28 海里渔船甲的速度为14(海里/小时)BC 2(2)在ABC中，AB12 海里，BAC120，BC28 海里，BCA，由正弦定理，得.AB sin BC sin 120即 sin .ABsin 120 BC12 32 283 314故 sin 的值为.3 314类题通法应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案题组训练1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是 45，在D点测得塔顶A的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为( )A10 m B20 m2C20 m D40 m3解析：选 D 设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，根据余弦定理3得 3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x40 或x20(舍去)故电视塔的高度为 40 m.2北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15的观礼台上，某一列座位6与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60和 30，且第一排和最后一排的距离为 10 m，则旗杆的高度为_m.6解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BCh.h sin 602 33在ABC中，AB10，CAB45，ABC105，6所以ACB30，由正弦定理，得，故h30(m)10 6sin 302 33hsin 45答案：303.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面 100 米的 32 楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午 11 时测得一客车位于楼房北偏东 15方向上，且俯角为 30的C处，10 秒后测得该客车位于楼房北偏西 75方向上，且俯角为 45的D处(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速 80 千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在 RtABC中，BAC60，AB100 米，则BC100米3在 RtABD中，BAD45，AB100 米，则BD100 米在BCD中，DBC751590，则DC200 米，BD2BC2所以客车的速度v20 米/秒72 千米/小时，所以该客车没有超速CD 107(2)在 RtBCD中，BCD30，又因为DBE15，所以CBE105，所以CEB45.在BCE中，由正弦定理可知，EB sin 30BC sin 45所以EB50米，即此时客车距楼房 50米BCsin 30 sin 45661在ABC中，若a7，b3，c8，则其面积等于( )A12 B.21 2C28 D63解析：选 D 由余弦定理得 cos A ，所以 sin A，b2c2a2 2bc328272 2 3 81 232则SABCbcsin A 386.1 21 23232在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 3a2b，则的值为( )2sin2Bsin2A sin2AA. B.1 91 3C1 D.7 2解析：选 D 由正弦定理可得 .2sin2Bsin2A sin2A2b2a2 a22(32a)2a2 a27 23在ABC中，已知AB2，BC5，ABC的面积为 4，若ABC，则 cos 等于( )A. B3 53 5