1课时跟踪检测（十六）课时跟踪检测（十六） 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示层级一 学业水平达标1若a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，如果a与b为共线向量，则( )Ax1，y1 Bx ，y1 21 2Cx ，y Dx ，y1 63 21 63 2解析：选 C 因为a与b共线，所以 ，所以x ，y .2x 11 2y3 91 63 22已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则OA 与BO 的夹角是( )A0 B C. D. 22 3解析：选 B OA OB 36363654，且|OA |3，|OB |6，33cosOA ，OB 1，543 3 6 3OA ，OB 0，OA ，OB 0.OA ，BO .3在空间直角坐标系中，i(1,0,0)，j(0,1,0)，k(0,0,1)，则与i，j，k所成角都相等的单位向量为( )A(1,1,1)B.(1 3，1 3，1 3)C.(33，33，33)D.或(33，33，33) (33，33，33)解析：选 D 设所求的单位向量为a(x，y，z)，则由与i，j，k所成角都相等得到aiajak，所以xyz，且x2y2z21，所以xyz或.33334已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是( )A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选 C AB (3,4，8)，AC (5,1，7)，BC (2，3,1)，|AB |，324282892|AC |，52127275|BC |，2232114|AC |2|BC |2751489|AB |2.ABC为直角三角形5已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，O(0,0,0)，OA OB 与OB 的夹角为 120，则的值为( )A B. C D6666666解析：选 C OA (1,0,0)，OB (0，1,1)，OA OB (1，)，(OA OB )OB 2，|OA OB |，|OB |.1221222cos 120 ，2 .22 1221 21 6又0，则29_.解析：a(0，1,1)，b(4,1,0)，ab(4,1，)|ab|，16(1)2229.29260.3 或2.0，3.答案：37若a(x,2,2)，b(2，3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_解析：ab2x23252x4，设a，b的夹角为，因为为钝角，所以cos 0，|b|0，所以ab0，即 2x40，所以x2，又a，b不ab |a|b|会反向，所以实数x的取值范围是(，2)答案：(，2)8已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是_解析：由已知，得ba(2，t，t)(1t,1t，t)(1t,2t1,0)|ba|1t22t12023 .5t22t25(t15)29 5当t 时，|ba|的最小值为.1 53 55答案：3 559空间三点A(1,2,3)，B(2，1,5)，C(3,2，5)，试求：(1)ABC的面积；(2)ABC的AB边上的高解：(1)因为AB (2，1,5)(1,2,3)(1，3,2)，AC (2,0，8)，AB AC 12(3)02(8)14，且|AB |，|AC |2，1417所以 cosAB ，AC ，1414 2 177238sinAB ，AC ，27 34SABC |AB |AC |sinAB ，AC 1 223.1 2 141727 3421(2)| AB |，设AB边上的高为h，14则 |AB|hSABC3，h3.1 221610.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，A P1 A B1 ，且PCAB.求：(1)的值；(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值解：(1)设正三棱柱的棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，3B1(，0,2)，C1(0，1,2)，3于是AB (，1,0)，CA1 (0，2,2)，3A B1 (，1，2)34因为PCAB，所以CP AB 0，即(CA1 A P1 )AB 0，也即(CA1 A B1 )AB 0.故 . 1 2(2)由(1)知CP ，AC1 (0,2,2)，(32，32，1)cosCP ，AC1 ， | |322 2 228所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.28层级二 应试能力达标1已知两个非零向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是( )A.ab1 |a|1 |b|Ba1b1a2b2a3b3Ca1b1a2b2a3b30D存在非零实数k，使akb解析：选 D 根据空间向量平行的充要条件，易知选 D.2若A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|AB |的取值范围是( )A0,5 B1,5C(1,5) D(0,5)解析：选 B 由题意知，|AB |2cos 3cos 22sin 3sin 2112，1312cos1cos()1，1|AB |5.3已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于( )A. B.62 763 7C. D.64 765 7解析：选 D a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使cxayb，即5(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以Error!解得Error!3x2y.65 74已知a(3,2x，x)，b(x,2,0)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是( )A(，4) B(4,0)C(0,4) D(4，)解析：选 A a，b的夹角为钝角，ab0，即 3x2(2x)0x4x0，x4.又当夹角为 时，存在0，使ab，Error!此方程组无解，故选 A.5若ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(1,0，)，则2(32，12， 2)2角A的大小为_解析：由题意，知AB ，AC (1,0,0)，所以(32，12，0)|AB |1，|AC |1.则 cos A，故角A的大小为 30. | |32 1 132答案：306已知M1(2,5，3)，M2(3，2，5)，设在线段M1M2上的一点M满足M M12 4MM2 ，则向量OM 的坐标为_解析：设M(x，y，z)，则M M12 (1，7，2)，MM2 (3x，2y，5z)又M M12 4MM2 ，Error!Error!答案：(11 4，14，9 2)7在正方体ABCDA1B1C1D1中，O1是A1B1C1D1的中心，E1在B1C1上，并且B1E1B1C1，求BE1与CO1所成的角的余弦值1 3解：不妨设AB1，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立直角坐标系，则B(1,0，0)，E1，(1，1 3，1)6C(1,1,0)，O1，(1 2，1 2，1)BE1，CO1 ，(0，1 3，1)(1 2，1 2，1)BE1CO1 ，(0，1 3，1) (1 2，1 2，1)5 6| BE1| ，|CO1 | .10362cosBE1，CO1 .5 6103 62156即BE1与CO1所成角的余弦值为.1568已知关于x的方程x2(t2)xt23t50 有两个实根，且向量a(1,1,3)，b(1,0，2)，catb.(1)当|c|取最小值时，求t的值；(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值解：(1)关于x的方程x2(t2)xt23t50 有两个实根，(t2)24(t23t5)0，即4t .4 3又catb(1t,1,32t)，|c| .1t21232t25(t75)26 5当t时，关于t的函数y52 是单调递减的，4，4 3(t7 5)6 5当t 时，|c|取最小值.4 33473(2)由(1)，知当t 时，c，4 3(7 3，1，17 3)|b|，|c|，12022253473cosb，c.bc |b|c|41 1 7351 735