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第二节 排列与组合三年9考 高考指数:1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的应用是考查重点;2.常与其他知识交汇命题,考查分类讨论思想;3.题型以选择题和填空题为主,在解答题中和概率相结合进行考查.1.排列与排列数公式(1)排列与排列数:(2)排列数公式:=_=_.(3)排列数的性质: =_;0!=_.顺序 个数n(n-1)(n-2)(n-m+1)n!1【即时应用】(1)思考:排列与排列数有什么区别?提示:排列与排列数是两个不同的概念,排列是一个具体的排法,不是数,而排列数是所有排列的个数,是一个正整数.(2)设x,mN*,且m19x,则(x-m)(x-m-1)(x-19)用排列符号可表示为_.【解析】由排列数公式的特征,下标是“连乘数”最大数x-m,上标是“连乘数”的个数,即(x-m)-(x-19)+1=20-m.答案:(3)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有_种.【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 =186(种).答案:186(4)一条铁路原有m个车站,为了适应客运需求新增加了2个车站,则客运车票增加了58种,那么原有车站_个.【解析】根据题意得: =58,即(m+2)(m+1)-m(m-1)=58,即m=14.答案:142.组合与组合数公式(1)组合与组合数:(2)组合数公式:=_=_.(3)组合数的性质: =_; =_; =_.合成一组个数1【即时应用】(1)若 则x=_.(2)某校开设10门课程供学生选修,其中A、B、C三门课程由于上课时间相同,所以至多只能选一门.学校规定,每位同学选修三门,则每位同学不同的选修方案种数是_.(3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为_.【解析】(1)由2x-7=x或2x-7+x=20,得x=7或x=9.(2)分两类:第一类A、B、C三门课程都不选,有 =35种方案;第二类A、B、C三门课程中选一门,剩余7门课程中选两门,有 =63种方案.故共有35+63=98种方案.(3)方法一:4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况,故不同的选派方案种数为=24+16=14.方法二:从4男2女中选4人共有 种选法,4名都是男生的选法有 种,故至少有1名女生的选派方案种数为 =15-1=14.答案:(1)7或9 (2)98 (3)143.排列问题与组合问题的区别区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键是看所选的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是_问题,否则是_问题.排列组合【即时应用】(1)由1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,三位数字之和为奇数的共有_个.(用数字作答)(2)今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有_种不同的方法.(用数字作答)(3)某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程丁必须在工程丙完成后才能进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是_.(用数字作答)【解析】(1)根据题意,所选的三位数字有两种情况:3个数字都是奇数,有 种方法;3个数字中有一个是奇数,有 种,故共有 24个.(2)由题意,可知因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 =1 260种.(3)根据题意,共有 20种不同排法.答案:(1)24 (2)1 260 (3)20排列数、组合数公式的应用【方法点睛】排列数、组合数公式的特点及适用范围(1)排列数公式右边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数.公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证;(2)组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种,乘积形式分母为m!,分子左边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数,多用于数字计算.阶乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证.【例1】(1)组合数 (nr1,n、rN*)恒等于( )(A) (B)(C) (D)(2)若 则x=_.(3) =_.【解题指南】(1)(2)利用排列数和组合数的公式及意义求解,(3)中注意n的取值范围.【规范解答】(1)选D. (2)原方程即也就是化简得x2-21x+104=0,解得x=8或x=13,又因为2x9,且xN*,所以x=8.答案:8(3)若 有意义,则 解得2n4.当n=2时,有当n=3时,有当n=4时,有答案:4或7或11【互动探究】在本例的(2)中,若将条件改为 求x的取值范围.【解析】原不等式即也就是化简得x2-21x+1040.解得x8或x13,又因为2x9,且xN*,所以x=2,3,4,5,6,7.【反思感悟】1.在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用,注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解.2.应注意 或x+y=n两种情况.【变式备选】计算 的值.【解析】排列问题的应用【方法点睛】解决排列类应用题的主要方法(1)直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法,即先排特殊元素或特殊位置;(3)捆绑法:相邻问题捆绑处理的方法,即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列,同时注意捆绑元素的内部排列;(4)插空法:不相邻问题插空处理的方法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;(5)分排问题直排处理的方法;(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法;(7)定序问题除法处理的方法,即可以先不考虑顺序限制,排列后再除以定序元素的全排列.【例2】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须相邻;(5)全体排成一排,男生互不相邻;(6)全体排成一排,甲、乙两人中间恰好有3人.【解题指南】(1)无限制条件的排列问题直接应用公式;(2)先排前排再排后排;(3)“在”与“不在”的问题,采用“优先法”;(4)(5)(6)“邻”与“不邻”的问题,采用“捆绑法”或“插空法”.【规范解答】(1)从7个人中选5个人来排列,有=76543=2 520种.(2)分两步完成,先选3人排在前排,有 种方法,余下4人排在后排,有 种方法,故共有 =5 040种.事实上,本小题即为7人排成一排的全排列,无任何限制条件.(3)(优先法)方法一:甲为特殊元素.先排甲,有5种方法;其余6人有 种方法,故共有5 =3 600种.方法二:排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列,有 种方法,中间5个位置由余下4人和甲进行全排列,有 种方法,共有 =3 600种.(4)(捆绑法)将女生看成一个整体,与3名男生在一起进行全排列,有 种方法,再将4名女生进行全排列,也有 种方法,故共有 =576种.(5)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有 种方法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生,有 种方法,故共有 =1 440种.(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体,第一步先排甲、乙两人有 种方法,再从剩下的5人中选3人排到中间,有 种方法,最后把甲、乙及中间3人看作一个整体,与剩余2人全排列,有种方法,故共有 =720种.【互动探究】本例中第(5)问改为“甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻”,其他条件不变,应如何求解?【解析】先排甲、乙、丙以外的4人,有 种方法,由于甲、乙要相邻,故再把甲、乙排好,有 种方法,最后把排好的甲、乙视为一个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及其首尾的5个空位,有 种方法.所以,总共有 =960种.【反思感悟】无限制条件的排列问题,直接利用排列数公式即可,但要看清是全排列还是选排列问题;有限制条件的排列问题,用直接法或间接法.【变式备选】1.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有_个(用数字作答)【解析】可以分情况讨论:若末位数字为0,则1、2为一组,且可以交换位置,3、4各为1个数字,共可以组成2 =12个五位数;若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有2 =4个五位数;若末位数字为4,则1、2为一组,且可以交换位置,3、0各为1个数字,且0不是首位数字,则有2(2 )=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个.答案:24 2.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有_种不同的播放方式(结果用数值表示).【解析】分两步:第一步,首尾必须播放公益广告的有 种;第二步,中间4个为不同的商业广告有 种,所以不同的播放方式共有 48种.答案:48组合问题的应用【方法点睛】组合问题的常见题型(1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”、“最多”的问题:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动.(1)A,B,C三人必须入选有多少种不同选法?(2)A,B,C三人都不能入选有多少种不同选法?(3)A,B,C三人只有一人入选有多少种不同选法?(4)A,B,C三人至少一人入选有多少种不同选法?(5)A,B,C三人至多二人入选有多少种不同选法?【解题指南】(1)(2)是“在”与“不在”的问题,采用“直接法”; (3)可分两步;(4)(5)是“至少”、“至多”型问题,采用“间接法” .【规范解答】(1)只需从A,B,C之外的9人中选择2人,即有 36种选法.(2)由A,B,C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人,即有126种选法.(3)可分两步,先从A,B,C三人中选出1人,有 种选法,再从余下的9人中选4人,有 种选法,所以共有 378种选法.(4)可考虑间接法,从12人中选5人共有 种,再减去A,B,C三人都不入选的情况 种,共有 666种选法.(5)可考虑间接法,从12人中选5人共有 种,再减去A,B,C三人都入选的情况有 种,所以共有 756种选法.【反思感悟】1.对“组合问题”恰当地分类计算,是解组合题的常用方法;2.解题时既要灵活选用直接法或间接法,又要常常结合两种计数原理.【变式训练】1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )(A)6种 (B)12种 (C)30种 (D)36种【解析】选C.从
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